名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2024年8月実施 解析・線形代数

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祭音Myyura (with Gemini 3 pro deepthink and GPT 5.2 pro extended thinking)

Description

[1]

次の微分方程式 (1) に対して、以下の問いに答えよ。

$$\begin{align} \frac{d^3x}{dt^3} - 3\frac{d^2x}{dt^2} - 6\frac{dx}{dt} + 8x = 0 \quad \tag{1} \end{align}$$

(a) $\bm{u}^\top = \left(x, \frac{dx}{dt}, \frac{d^2x}{dt^2}\right)$ とすると、式(1) は $A\bm{u} = \frac{d\bm{u}}{dt}$ と表せる。このとき、行列 $A$ を求めよ。

(b) 行列 $A$ の固有値を求めよ。

(c) 微分方程式 (1) を解け。

[2]

複素数について、以下の問いに答えよ。

(a) 複素数 $a_1 = \sqrt{3} + i, a_2 = 2i$ に対して、絶対値と偏角を示せ。

(b) 3つの複素数 $z_1, z_2, z_3$ を複素平面上の点にそれぞれ対応させる。これらの点が正三角形をなすとき、次の式 (2) が成り立つことを示せ。

$$\begin{align} z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 - z_1z_2 - z_2z_3 - z_3z_1 = 0 \tag{2} \end{align}$$

[3]

次の立体について、以下の問いに答えよ。

$$V = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} + z^{\frac{2}{3}} \le 1, x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0\}$$

なお、

$$\int_0^{\pi/2} \sin^n x dx = \int_0^{\pi/2} \cos^n x dx = \begin{cases} \displaystyle \frac{(n-1)(n-3)\cdots 3\cdot 1}{n(n-2) \cdots 4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2} &(n \geq 2 \text{ and } n \text{ is even}) \\ \displaystyle \frac{(n-1)(n-3)\cdots 4\cdot 2}{n(n-2) \cdots 5 \cdot 3} \cdot \frac{\pi}{2} &(n \geq 3 \text{ and } n \text{ is odd}) \\ \end{cases}$$

である。

(a) $V$ を平面 $z = k$ により切断したときの断面を $S$ とする。$S$ の式を $x = r\cos^3 t, y=r\sin^3 t$ で変数変換するとき、$r$ と $t$ の取りうる値の範囲を求めよ。

(b) $S$ の面積を求めよ。

(c) $V$ 体積を求めよ。

Kai

[1]

(a)

设 $u_1 = x, u_2 = \frac{dx}{dt}, u_3 = \frac{d^2x}{dt^2}$。 对 $\bm{u}$ 的各分量求导：

$$\begin{aligned} \frac{du_1}{dt} &= \frac{dx}{dt} = u_2 \\ \frac{du_2}{dt} &= \frac{d^2x}{dt^2} = u_3 \\ \frac{du_3}{dt} &= \frac{d^3x}{dt^3} \end{aligned}$$

由微分方程 (1) 移项得 $\frac{d^3x}{dt^3} = 3\frac{d^2x}{dt^2} + 6\frac{dx}{dt} - 8x$，代入 $u_1, u_2, u_3$：

$$\frac{du_3}{dt} = -8u_1 + 6u_2 + 3u_3$$

写成矩阵形式：

$$\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -8 & 6 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}$$

因此，矩阵 $\bm{A}$ 为：

$$\bm{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -8 & 6 & 3 \end{pmatrix}$$

(b)

计算特征多项式 $|\lambda \bm{I} - \bm{A}|$：

$$\begin{aligned} |\lambda \bm{I} - \bm{A}| &= \begin{vmatrix} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ 8 & -6 & \lambda - 3 \end{vmatrix} \\ &= \lambda \begin{vmatrix} \lambda & -1 \\ -6 & \lambda - 3 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 8 & \lambda - 3 \end{vmatrix} \\ &= \lambda [\lambda(\lambda - 3) - 6] + [0 - (-8)] \\ &= \lambda^3 - 3\lambda^2 - 6\lambda + 8 \end{aligned}$$

令 $\lambda^3 - 3\lambda^2 - 6\lambda + 8 = 0$。 观察可知 $\lambda = 1$ 是方程的一个根（$1 - 3 - 6 + 8 = 0$）。 利用多项式除法分解因式：

$$(\lambda - 1)(\lambda^2 - 2\lambda - 8) = 0$$

进一步分解二次项：

$$(\lambda - 1)(\lambda - 4)(\lambda + 2) = 0$$

解得特征值为：

$$\lambda = 1, 4, -2$$

(c)

由 (b) 可知，特征方程的根为互不相同的实数 $1, 4, -2$。 因此，微分方程的通解为：

$$x(t) = C_1 e^t + C_2 e^{4t} + C_3 e^{-2t}$$

其中 $C_1, C_2, C_3$ 为任意常数。

[2]

(a)

将 $a_1, a_2$ 转换为极坐标形式：

$$a_1 = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$$

$$a_2 = 2(0 + i) = 2e^{i\frac{\pi}{2}}$$

计算商：

$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2e^{i\frac{\pi}{6}}}{2e^{i\frac{\pi}{2}}} = 1 \cdot e^{i(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2})} = e^{-i\frac{\pi}{3}}$$

因此：

• 绝对值：$\left|\frac{a_1}{a_2}\right| = 1$
• 偏角：$\arg\left(\frac{a_1}{a_2}\right) = -\frac{\pi}{3}$

(b)

若 $z_1, z_2, z_3$ 构成正三角形，则向量 $z_3 - z_1$ 可由 $z_2 - z_1$ 旋转 $\pm 60^\circ$ 得到。即：

$$\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} = e^{\pm i\frac{\pi}{3}}$$

令 $\omega = e^{\pm i\frac{\pi}{3}}$。注意到 $\omega$ 是方程 $t^2 - t + 1 = 0$ 的两个根（$\frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$）。 因此，我们有关系式：

$$\left(\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}\right)^2 - \left(\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}\right) + 1 = 0$$

两边同乘 $(z_2 - z_1)^2$ 去分母：

$$(z_3 - z_1)^2 - (z_3 - z_1)(z_2 - z_1) + (z_2 - z_1)^2 = 0$$

展开各项：

$$\begin{aligned} (z_3^2 - 2z_3z_1 + z_1^2) - (z_3z_2 - z_3z_1 - z_1z_2 + z_1^2) + (z_2^2 - 2z_2z_1 + z_1^2) &= 0 \\ z_3^2 - 2z_3z_1 + z_1^2 - z_3z_2 + z_3z_1 + z_1z_2 - z_1^2 + z_2^2 - 2z_1z_2 + z_1^2 &= 0 \end{aligned}$$

合并同类项：

• 平方项系数：$z_1^2 (1-1+1) = z_1^2$，同理得 $z_2^2, z_3^2$。
• 交叉项系数：$z_1z_2 (1-2) = -z_1z_2$，$z_2z_3 (-1) = -z_2z_3$，$z_3z_1 (-2+1) = -z_3z_1$。

整理得：

$$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 - z_1z_2 - z_2z_3 - z_3z_1 = 0$$

证毕。

[3]

(a)

截面 $S$ 满足 $z=k$，代入不等式得：

$$x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} \le 1 - k^{\frac{2}{3}} \quad (0 \le k \le 1)$$

代入变换 $x = r \cos^3 t, y = r \sin^3 t$：

$$(r \cos^3 t)^{\frac{2}{3}} + (r \sin^3 t)^{\frac{2}{3}} = r^{\frac{2}{3}}(\cos^2 t + \sin^2 t) = r^{\frac{2}{3}}$$

于是有 $r^{\frac{2}{3}} \le 1 - k^{\frac{2}{3}} \implies r \le (1 - k^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$。 又因为 $x, y \ge 0$，所以 $\cos^3 t \ge 0, \sin^3 t \ge 0$，故 $t$ 在第一象限。 范围为：

$$0 \le r \le \left(1 - k^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}, \quad 0 \le t \le \frac{\pi}{2}$$

(b)

计算坐标变换的雅可比行列式 $J$：

$$\begin{aligned} J = \det \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, t)} &= \begin{vmatrix} \cos^3 t & -3r \cos^2 t \sin t \\ \sin^3 t & 3r \sin^2 t \cos t \end{vmatrix} \\ &= 3r \sin^2 t \cos^4 t + 3r \cos^2 t \sin^4 t \\ &= 3r \sin^2 t \cos^2 t (\cos^2 t + \sin^2 t) = 3r \sin^2 t \cos^2 t \end{aligned}$$

面积积分 $S(k)$：

$$S(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{(1 - k^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}} 3r \sin^2 t \cos^2 t \, dr \, dt$$

先对 $r$ 积分：

$$\int_0^{(1 - k^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}} 3r \, dr = \frac{3}{2} \left[ (1 - k^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} \right]^2 = \frac{3}{2} (1 - k^{\frac{2}{3}})^3$$

再对 $t$ 积分（利用倍角公式 $\sin^2 t \cos^2 t = \frac{1}{4}\sin^2 2t$）：

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t \cos^2 t \, dt = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 2t \, dt = \frac{1}{8} \int_0^{\pi} \sin^2 u \, du = \frac{1}{8} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{16}$$

于是截面面积为：

$$S(k) = \frac{3\pi}{32} \left(1 - k^{\frac{2}{3}}\right)^3$$

(c)

体积 $V$ 为截面面积沿 $z$ 轴的积分：

$$V = \int_0^1 S(k) \, dk = \frac{3\pi}{32} \int_0^1 (1 - k^{\frac{2}{3}})^3 \, dk$$

利用题目给出的 Wallis 公式提示，作代换 $k = \sin^3 u$。 则 $dk = 3\sin^2 u \cos u \, du$。当 $k: 0 \to 1$ 时，$u: 0 \to \frac{\pi}{2}$。 且 $(1 - k^{\frac{2}{3}}) = (1 - \sin^2 u) = \cos^2 u$。 代入积分：

$$\begin{aligned} I &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^2 u)^3 \cdot 3\sin^2 u \cos u \, du \\ &= 3 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^7 u \sin^2 u \, du \\ &= 3 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^7 u (1 - \cos^2 u) \, du \\ &= 3 \left( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^7 u \, du - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^9 u \, du \right) \end{aligned}$$

记 $J_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n u \, du$。根据 Wallis 公式：

$$J_7 = \frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{16}{35}$$

$$J_9 = \frac{8}{9} J_7$$

代入计算：

$$I = 3 \left( J_7 - \frac{8}{9}J_7 \right) = 3 \cdot \frac{1}{9} J_7 = \frac{1}{3} \cdot \frac{16}{35} = \frac{16}{105}$$

最终体积为：

$$V = \frac{3\pi}{32} \cdot \frac{16}{105} = \frac{3\pi}{2} \cdot \frac{1}{105} = \frac{\pi}{2 \cdot 35} = \frac{\pi}{70}$$