名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2024年8月実施 解析・線形代数

Author

祭音Myyura (with Gemini 3 pro deepthink and GPT 5.2 pro extended thinking)

Description

[1]

次の微分方程式 (1) に対して、以下の問いに答えよ。

(a) とすると、式(1) は と表せる。このとき、行列 を求めよ。

(b) 行列 の固有値を求めよ。

(c) 微分方程式 (1) を解け。

[2]

複素数について、以下の問いに答えよ。

(a) 複素数 に対して、絶対値と偏角を示せ。

(b) 3つの複素数 を複素平面上の点にそれぞれ対応させる。これらの点が正三角形をなすとき、次の式 (2) が成り立つことを示せ。

[3]

次の立体について、以下の問いに答えよ。

なお、

である。

(a) を平面 により切断したときの断面を とする。 の式を で変数変換するとき、 と の取りうる値の範囲を求めよ。

(b) の面積を求めよ。

(c) 体積を求めよ。

Kai

[1]

(a)

设 。 对 的各分量求导：

由微分方程 (1) 移项得 ，代入 ：

写成矩阵形式：

因此，矩阵 为：

(b)

计算特征多项式 ：

令 。 观察可知 是方程的一个根（）。 利用多项式除法分解因式：

进一步分解二次项：

解得特征值为：

(c)

由 (b) 可知，特征方程的根为互不相同的实数 。 因此，微分方程的通解为：

其中 为任意常数。

[2]

(a)

将 转换为极坐标形式：

计算商：

因此：

• 绝对值：
• 偏角：

(b)

若 构成正三角形，则向量 可由 旋转 得到。即：

令 。注意到 是方程 的两个根（）。 因此，我们有关系式：

两边同乘 去分母：

展开各项：

合并同类项：

• 平方项系数：，同理得 。
• 交叉项系数：，，。

整理得：

证毕。

[3]

(a)

截面 满足 ，代入不等式得：

代入变换 ：

于是有 。 又因为 ，所以 ，故 在第一象限。 范围为：

(b)

计算坐标变换的雅可比行列式 ：

面积积分 ：

先对 积分：

再对 积分（利用倍角公式 ）：

于是截面面积为：

(c)

体积 为截面面积沿 轴的积分：

利用题目给出的 Wallis 公式提示，作代换 。 则 。当 时，。 且 。 代入积分：

记 。根据 Wallis 公式：

代入计算：

最终体积为：