名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2023年8月実施 概率统计

标签：

• Nagoya-University
• Expectation-and-Variance

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

1から13までの数字が書かれたカードが1枚ずつあり、そこから無作為に選んだ2枚のカードに書かれた数字の積を $p$ とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $p$ が偶数となる確率を求めよ。

(2) $p$ が素数となる確率を求めよ。

(3) $p$ の期待値を求めよ。

(4) 残りの11枚のカードに書かれた数字の総和 $s$ より $p$ が大きくなる確率を求めよ。

题目描述

有 $13$ 张卡片，分别写有数字 $1$ 至 $13$，每个数字恰有一张。从中随机抽取两张不同的卡片，将其数字的乘积记为 $p$。

1. 求 $p$ 为偶数的概率；
2. 求 $p$ 为素数的概率；
3. 求 $p$ 的期望；
4. 将未抽取的其余 $11$ 张卡片上的数字总和记为 $s$，求 $p>s$ 的概率。

Kai

(1) 全事象は ${}_{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2} = 78$ 通り。 $p$ が偶数となるのは、少なくとも1枚が偶数の場合である。奇数は1, 3, 5, 7, 9, 11, 13の7枚なので、2枚とも奇数となるのは ${}_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2} = 21$ 通り。 したがって、 $p$ が偶数となるのは $78 - 21 = 57$ 通り。求める確率は $\frac{57}{78} = \frac{19}{26}$ 。

(2) $p$ が素数となるのは、選んだ2枚のカードが1と素数の組み合わせの場合である。素数は2, 3, 5, 7, 11, 13の6個。 したがって、 $p$ が素数となるのは6通り。求める確率は $\frac{6}{78} = \frac{1}{13}$ 。

(3) 2枚は重複なしで選ばれるため、その積を独立な2変数の積として扱うことはできない。78組が等確率なので、

$$\begin{aligned} E[p] &=\frac{1}{\binom{13}{2}}\sum_{1\leq i<j\leq 13}ij\\ &=\frac{1}{78}\cdot\frac{\left(\sum_{i=1}^{13}i\right)^2-\sum_{i=1}^{13}i^2}{2}\\ &=\frac{1}{78}\cdot\frac{91^2-819}{2} =\frac{3731}{78} =\frac{287}{6}. \end{aligned}$$

(4) 選んだ2枚の数を $i<j$ とすると、残り11枚の和は $s=91-i-j$ である。したがって

$$p>s \iff ij>91-i-j \iff (i+1)(j+1)>92.$$

小さい方のカードを $i$ として該当する大きい方のカードを数えると、

$$\begin{array}{c|ccccccc} i&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline \text{該当数}&1&3&4&4&3&2&1 \end{array}$$

となり、合計は $18$ 組である。したがって、求める確率は

$$\frac{18}{78}=\frac{3}{13}.$$