名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2023年8月実施 线性代数

标签：

• Nagoya-University
• Linear-Transformation

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

以下の図に示す線形写像 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ について考える。 $A', B', C', D', P'$ はそれぞれ点 $A, B, C, D, P$ を写像 $f$ で移した点である。点 $P'$ の座標を求めよ。

图像边界：原始 JSON 引用了 question_images/名古屋大学_智能系统情报_2024_20251206_165045_890447.png，但该文件没有随 JSON 一并提供。本文只保留能够由文字和公式确认的内容。

题目描述

原题要求根据图示的线性映射

$$f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$$

求点 $P$ 的像 $P'$；图中的 $A',B',C',D',P'$ 分别是 $A,B,C,D,P$ 在 $f$ 下的像。原始数据引用了图片 question_images/名古屋大学_智能系统情报_2024_20251206_165045_890447.png，但该图片未随数据提供，因此无法恢复图中所有点和连线。

由 Kai 只能唯一确认以下坐标：

$$\begin{aligned} A&=(4,2,2),&A'&=(1,1,1),\\ D&=(5,3,0),&D'&=(2,1,1),\\ P&=(10,6,0). \end{aligned}$$

在这一可确认范围内，利用 $f$ 的线性性求点 $P'$ 的坐标；图中 $B,C$ 及其像的具体数据无法从现有材料恢复，且不参与 Kai 所示的求解。

Kai

線形写像 $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ により，点 $P$ の像 $P'$ の座標を求める． 各点を原点からの位置ベクトルで表し，

$$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} 4\\2\\2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b},\quad \mathbf{c},\quad \mathbf{d}= \begin{pmatrix} 5\\3\\0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{p}= \begin{pmatrix} 10\\6\\0 \end{pmatrix}$$

とする．また，

$$f(\mathbf{a})=\mathbf{a'}= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}, \qquad f(\mathbf{d})=\mathbf{d'}= \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix}$$

が与えられているものとする．

点 $P$ と点 $D$ の座標を比較すると，

$$\mathbf{p} = \begin{pmatrix} 10\\6\\0 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 5\\3\\0 \end{pmatrix} =2\mathbf{d}$$

が成り立つ．すなわち，

$$\mathbf{p}=2\mathbf{d}$$

である．

$f$ は線形写像であるから，

$$f(c\mathbf{v})=c f(\mathbf{v})$$

が任意のスカラー $c$ とベクトル $\mathbf{v}$ に対して成り立つ．よって，

$$\mathbf{p'} =f(\mathbf{p}) =f(2\mathbf{d}) =2f(\mathbf{d}) =2\mathbf{d'}$$

となる．

$\mathbf{d'}$ の値を代入すると，

$$\mathbf{p'} = 2 \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\2\\2 \end{pmatrix}$$

を得る．

したがって，点 $P'$ の座標は

$$(4,\,2,\,2)$$

である．