名古屋大学情報学研究科知能システム学専攻 2023年8月実施微积分

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思齐塾, 祭音Myyura

$xy$ 平面上の閉曲線 $C$ が次の式で与えられているとき、以下の問いに答えよ。

\begin{cases} x = \sin 5\theta \cos \theta \\ y = \sin 5\theta \sin \theta \end{cases} \quad (0 \leq \theta \leq \pi)

(a) $C$ の概形を $xy$ 平面上に図示せよ。

(b) $xy$ 平面上の $C$ で囲まれる部分の面積を求めよ。

在 $xy$ 平面上，闭曲线 $C$ 由参数方程

\begin{cases} x=\sin5\theta\cos\theta,\\ y=\sin5\theta\sin\theta \end{cases} \qquad(0\le\theta\le\pi)

给出。

(a) 曲線 $C$ は媒介変数 $\theta$ を用いて

x(\theta)=\sin(5\theta)\cos\theta,\qquad y(\theta)=\sin(5\theta)\sin\theta

と表される．ここで $\theta$ の範囲は $0\le \theta\le \pi$ とする．

$\sin(5\theta)$ の項により， $\theta$ が

0,\ \frac{\pi}{5},\ \frac{2\pi}{5},\ \frac{3\pi}{5},\ \frac{4\pi}{5},\ \pi

のとき $\sin(5\theta)=0$ となり，その都度原点を通過する．したがって，曲線 $C$ は原点を中心とする $5$ 個のループをもつことが分かる．また，

\theta=0,\ \pi \ \Longrightarrow\ x=0,\ y=0

であるから，曲線は閉曲線である．

(b) 媒介表示された平面曲線が囲む面積は

A=\frac{1}{2}\int (x\,y'-y\,x')\,d\theta

で与えられる．ここでは

x(\theta)=\sin(5\theta)\cos\theta,\qquad y(\theta)=\sin(5\theta)\sin\theta

より，

x'(\theta) =5\cos(5\theta)\cos\theta-\sin(5\theta)\sin\theta,

y'(\theta) =5\cos(5\theta)\sin\theta+\sin(5\theta)\cos\theta

である．

これらを用いると，

\begin{aligned} x(\theta)y'(\theta)-y(\theta)x'(\theta) &=\sin(5\theta)\cos\theta \bigl(5\cos(5\theta)\sin\theta+\sin(5\theta)\cos\theta\bigr) \\ &\quad -\sin(5\theta)\sin\theta \bigl(5\cos(5\theta)\cos\theta-\sin(5\theta)\sin\theta\bigr) \\ &=\sin^2(5\theta)\bigl(\cos^2\theta+\sin^2\theta\bigr) \\ &=\sin^2(5\theta) \end{aligned}

となる．したがって，

A=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\sin^2(5\theta)\,d\theta

である．

ここで

\sin^2(5\theta)=\frac{1-\cos(10\theta)}{2}

を用いると，

\begin{aligned} A &=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\frac{1-\cos(10\theta)}{2}\,d\theta \\ &=\frac{1}{4}\int_0^{\pi}(1-\cos(10\theta))\,d\theta \\ &=\frac{1}{4} \left[ \theta-\frac{\sin(10\theta)}{10} \right]_0^{\pi} =\frac{\pi}{4} \end{aligned}

を得る．

よって，曲線 $C$ によって囲まれる面積は

\frac{\pi}{4}

である．