名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2023年8月実施 线性代数

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• Nagoya-University
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Matrix-Diagonalization

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

ある集合の要素がAとBの2群のいずれかに属するとする.ステップごとにA群の要素の10%をB群へ、B群の要素の30%をA群へ移す。nステップ後にA群とB群に属する要素数の割合をそれぞれ $a_n, b_n$ とし、その組を $S_n = \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ と表す.ただし、 $a_n + b_n = 1, a_n \geq 0, b_n \geq 0$ とする。なお、 $M^T$ は行列 $M$ の転置を表す。以下の問いに答えよ。

(a) $S_{n+1} = AS_n$ となる2×2行列Aを示せ。

(b) Aのすべての固有値と、それらに対する単位固有ベクトルをそれぞれ一つ求めよ.

(c) 正則行列 $P$ を用いて、 $P^{-1}AP$ として $A$ を対角化することを考える. $P^{-1}$ と $P$ の組を一つ求めよ。

(d) $S_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ としたときの $a_5$ と $b_5$ の値を求めよ。ただし、四捨五入により小数点以下第4位まで解答するものとする。なお、次の値は使ってよい。 $0.1^5 = 0.00001, 0.2^5 = 0.00032, 0.3^5 = 0.00243, 0.4^5 = 0.01024, 0.5^5 = 0.03125,$ $0.6^5 = 0.07776, 0.7^5 = 0.16807, 0.8^5 = 0.32768, 0.9^5 = 0.59049$

(e) nが十分に大きいとき,任意の $S_0$ における $a_n$ と $b_n$ の値を求めよ.

题目描述

某集合的每个元素属于 A、B 两组之一。每一步把 A 组元素的 $10\%$ 移入 B 组，同时把 B 组元素的 $30\%$ 移入 A 组。经过 $n$ 步后，A、B 两组元素所占比例分别为 $a_n,b_n$，并记

$$S_n=\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}, \qquad a_n+b_n=1,\quad a_n\ge0,\quad b_n\ge0.$$

以下 $M^{\mathsf T}$ 表示矩阵 $M$ 的转置。

1. 写出满足 $S_{n+1}=AS_n$ 的 $2\times2$ 矩阵 $A$；

2. 求 $A$ 的全部特征值，并对每个特征值分别给出一个单位特征向量；

3. 考察用可逆矩阵 $P$ 将 $A$ 对角化为 $P^{-1}AP$。求一组符合要求的 $P^{-1}$ 与 $P$；

4. 当

   $$S_0=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$

   时，求 $a_5,b_5$，四舍五入到小数点后第 $4$ 位。可以使用

   $$\begin{gathered} 0.1^5=0.00001,\quad0.2^5=0.00032,\quad0.3^5=0.00243,\\ 0.4^5=0.01024,\quad0.5^5=0.03125,\quad0.6^5=0.07776,\\ 0.7^5=0.16807,\quad0.8^5=0.32768,\quad0.9^5=0.59049; \end{gathered}$$

5. 当 $n$ 足够大时，对任意初始状态 $S_0$，求 $a_n,b_n$ 的极限值。

Kai

(a) A群の要素のうち $10\%$ が B群へ移り，B群の要素のうち $30\%$ が A群へ移るとする． このとき，各時刻 $n$ における A群，B群の割合をそれぞれ $a_n,b_n$ とすると，

$$a_{n+1}=0.9a_n+0.3b_n, \qquad b_{n+1}=0.1a_n+0.7b_n$$

が成り立つ．

これを行列形式で表すと，

$$\begin{pmatrix} a_{n+1}\\ b_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.9 & 0.3\\ 0.1 & 0.7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_n\\ b_n \end{pmatrix}$$

となる．よって，

$$A= \begin{pmatrix} 0.9 & 0.3\\ 0.1 & 0.7 \end{pmatrix}$$

である．

(b) 行列 $A$ の固有値を求める．固有方程式は

$$\det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix} 0.9-\lambda & 0.3\\ 0.1 & 0.7-\lambda \end{vmatrix}$$

であり，

$$(0.9-\lambda)(0.7-\lambda)-0.03 =\lambda^2-1.6\lambda+0.6$$

となる．したがって，

$$(\lambda-1)(\lambda-0.6)=0$$

より，

$$\lambda_1=1,\qquad \lambda_2=0.6$$

を得る．

まず $\lambda_1=1$ のとき，

$$(A-I) = \begin{pmatrix} -0.1 & 0.3\\ 0.1 & -0.3 \end{pmatrix}$$

であるから，

$$-0.1x+0.3y=0$$

より $x=3y$ が得られる．よって固有ベクトルとして

$$\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}$$

をとることができ，対応する単位固有ベクトルは

$$\frac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}$$

である．

次に $\lambda_2=0.6$ のとき，

$$(A-0.6I) = \begin{pmatrix} 0.3 & 0.3\\ 0.1 & 0.1 \end{pmatrix}$$

であり，

$$0.3x+0.3y=0$$

より $x=-y$ が成り立つ．したがって固有ベクトルとして

$$\begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix}$$

をとることができ，単位固有ベクトルは

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix}$$

である．

(c) 固有ベクトルを並べた行列を

$$P= \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

とすると，

$$P^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -3 \end{pmatrix}$$

である．

(d) 状態ベクトルを $S_n=(a_n,b_n)^T$ とすると，

$$S_n=A^n S_0$$

が成り立つ． $A=PDP^{-1}$ と対角化できるので，

$$A^5=PD^5P^{-1}$$

である．ここで

$$D= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0.6 \end{pmatrix}$$

より，

$$D^5= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0.6^5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0.07776 \end{pmatrix}$$

である．

計算すると，

$$A^5= \begin{pmatrix} 0.76944 & 0.69168\\ 0.23056 & 0.30832 \end{pmatrix}$$

となる．初期状態 $S_0=(1,0)^T$ に対して，

$$S_5=A^5S_0 = \begin{pmatrix} 0.76944\\ 0.23056 \end{pmatrix}$$

を得る．したがって，

$$a_5=0.7694,\qquad b_5=0.2306$$

である．

(e) $n$ を十分大きくするとき， $(a_n,b_n)$ は定常状態 $(a,b)$ に収束する． 定常状態では

$$a_{n+1}=a_n=a,\qquad b_{n+1}=b_n=b$$

が成り立ち，さらに $a+b=1$ である．

よって，

$$a=0.9a+0.3b$$

に $b=1-a$ を代入すると，

$$a=0.9a+0.3(1-a)=0.6a+0.3$$

より，

$$0.4a=0.3,\qquad a=\frac{3}{4}$$

を得る．したがって，

$$b=1-a=\frac{1}{4}$$

である．