名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2023年8月実施 解析・線形代数 [3]

标签：

• Nagoya-University
• Linear-Transformation

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

以下の図に示す線形写像 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ について考える。 $A', B', C', D', P'$ はそれぞれ点 $A, B, C, D, P$ を写像 $f$ で移した点である。点 $P'$ の座標を求めよ。

题目描述

考察上图所示的线性映射

$$f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$$

图中的 $A',B',C',D',P'$ 分别是 $A,B,C,D,P$ 在 $f$ 下的像。求点 $P'$ 的坐标。

图中已知点的坐标为：

$$\begin{aligned} A&=(4,2,2),&A'&=(1,1,1),\\ B&=(5,6,5),&B'&=(1,2,1),\\ C&=(6,7,3),&C'&=(2,2,1),\\ D&=(5,3,0),&D'&=(2,1,1),\\ P&=(10,6,0). \end{aligned}$$

Kai

線形写像 $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ により，点 $P$ の像 $P'$ の座標を求める． 各点を原点からの位置ベクトルで表し，

$$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} 4\\2\\2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b},\quad \mathbf{c},\quad \mathbf{d}= \begin{pmatrix} 5\\3\\0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{p}= \begin{pmatrix} 10\\6\\0 \end{pmatrix}$$

とする．また，

$$f(\mathbf{a})=\mathbf{a'}= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}, \qquad f(\mathbf{d})=\mathbf{d'}= \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix}$$

が与えられているものとする．

点 $P$ と点 $D$ の座標を比較すると，

$$\mathbf{p} = \begin{pmatrix} 10\\6\\0 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 5\\3\\0 \end{pmatrix} =2\mathbf{d}$$

が成り立つ．すなわち，

$$\mathbf{p}=2\mathbf{d}$$

である．

$f$ は線形写像であるから，

$$f(c\mathbf{v})=c f(\mathbf{v})$$

が任意のスカラー $c$ とベクトル $\mathbf{v}$ に対して成り立つ．よって，

$$\mathbf{p'} =f(\mathbf{p}) =f(2\mathbf{d}) =2f(\mathbf{d}) =2\mathbf{d'}$$

となる．

$\mathbf{d'}$ の値を代入すると，

$$\mathbf{p'} = 2 \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\2\\2 \end{pmatrix}$$

を得る．

したがって，点 $P'$ の座標は

$$(4,\,2,\,2)$$

である．