名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2022年8月実施 概率统计

标签：

• Nagoya-University
• Expectation-and-Variance
• Cumulative-Distribution-Function-and-Probability-Density-Function

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ に関して、以下の問いに答えよ。

(1) $f(x)$ が満たすべき性質を2つ答えよ。

(2) $f(x)$ が次式で与えられる連続関数であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求めよ。

$$f(x) = \begin{cases} a^2x^3 + bx^2 + 4ax + c & (0 \leq x \leq 1) \\ 0 & (otherwise) \end{cases}$$

(3) $f(x)$ が(2)と同様に与えられるとき、確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

题目描述

关于随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f(x)$，回答下列问题。

1. 写出概率密度函数必须满足的两条性质；

2. 若 $f$ 是在实数范围内连续且由下式给出的函数，求常数 $a,b,c$：

   $$f(x)= \begin{cases} a^2x^3+bx^2+4ax+c,&0\le x\le1,\\ 0,&\text{其他}; \end{cases}$$

3. 当 $f(x)$ 如第 2 问所给时，求 $X$ 的期望 $E(X)$。

Kai

(1) 確率密度関数 $f(x)$ が満たすべき性質は以下の2つです。

• $f(x) \geq 0$ (確率密度は非負である)
• $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ (全確率が1である)

(2) $f$ は実数全体で連続であり、区間 $[0,1]$ の外では0なので、両端で

$$c=f(0)=0$$

$$a^2+b+4a+c=f(1)=0$$

が必要である。したがって $c=0$ かつ $b=-a^2-4a$ である。

さらに、密度の積分が1なので、

$$\frac{a^2}{4}+\frac{b}{3}+2a+c=1.$$

$b=-a^2-4a,\ c=0$ を代入すると、

$$-\frac{a^2}{12}+\frac{2a}{3}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad a^2-8a+12=0,$$

したがって $a=2$ または $a=6$ である。

$a=2$ のとき、

$$b=-12,\qquad f(x)=4x(x-1)(x-2)\geq0\quad(0\leq x\leq1).$$

一方、 $a=6$ のとき、

$$b=-60,\qquad f(x)=12x(3x-2)(x-1),$$

これは $2/3<x<1$ で負になるため確率密度関数ではない。よって、

$$\boxed{a=2,\qquad b=-12,\qquad c=0}.$$

(3) 期待値 $E(X)$ は以下のように計算されます。

$$E(X) =\int_0^1x(4x^3-12x^2+8x)\,dx$$

$$=\frac45-3+\frac83 =\boxed{\frac7{15}}.$$