名古屋大学情報学研究科知能システム学専攻 2022年8月実施概率统计

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思齐塾, 祭音Myyura

以下の問いに答えよ。サイコロ(dice)は1から6の数字が同じ確率で出るものとする。

(1) サイコロを3回振り、出た数字の積を得点とするとき、得点の期待値を求めよ。

(2) サイコロを2回振り、異なる数字が出た場合はそれらの積を、それ以外の場合は0を得点とするとき、得点の期待値を求めよ。

(3) サイコロを3回振り、すべて異なる数字が出た場合はそれらの積を、それ以外の場合は0を得点とするとき、得点が15点以上となる確率を求めよ。

回答下列问题。一枚公平六面骰子的点数 $1$ 至 $6$ 等概率出现。

(1) サイコロを3回振り，それぞれの出る目を確率変数 $X_1,X_2,X_3$ とする．これらは互いに独立であり，

E(X_i)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{7}{2} \quad (i=1,2,3)

である．よって独立性より，

E(X_1X_2X_3) =E(X_1)E(X_2)E(X_3) =\left(\frac{7}{2}\right)^3 =\frac{343}{8}

となる．

(2) サイコロを2回振るとき，異なる目が出る確率は

\frac{6}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{6}

である．異なる目が出た場合に限って積の期待値を求める．

異なる2数の順序付き組は $6\times5=30$ 通りあり、その積の総和は

\left(\sum_{i=1}^6i\right)^2-\sum_{i=1}^6i^2 =21^2-91 =350

であるから，条件付き期待値は

E(\text{積}\mid\text{異なる}) =\frac{350}{30} =\frac{35}{3}

となる．

同じ目が出た場合は得点を $0$ とするので，全体の期待値は

E =\frac{5}{6}\cdot\frac{35}{3} +\frac{1}{6}\cdot 0 =\boxed{\frac{175}{18}}

である．

(3) サイコロを3回振って，すべて異なる目が出る確率は

\frac{6}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{4}{6} =\frac{120}{216} =\frac{5}{9}

である．

ここで，すべて異なる3数の積が $15$ 以上となる場合を数える．異なる3数の組合せ $\{a,b,c\}$ （ $a<b<c$ ）のうち，

abc\ge 15

を満たすものは次の $15$ 通りである：

\begin{aligned} &1\cdot3\cdot5,\;1\cdot3\cdot6,\;1\cdot4\cdot5,\;1\cdot4\cdot6,\;1\cdot5\cdot6,\\ &2\cdot3\cdot4,\;2\cdot3\cdot5,\;2\cdot3\cdot6,\;2\cdot4\cdot5,\;2\cdot4\cdot6,\;2\cdot5\cdot6,\\ &3\cdot4\cdot5,\;3\cdot4\cdot6,\;3\cdot5\cdot6,\\ &4\cdot5\cdot6 \end{aligned}

各組合せは $3! = 6$ 通りの順序付き組をもつので、条件を満たす順序付き結果は

15\times6=90

通りである。サイコロ3回の全結果は $6^3=216$ 通りであるから、求める確率は

\frac{90}{216} =\frac{5}{12}

となる．