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名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2022年8月実施 微积分

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

関数 f(x,y)=(x+y)e−x2−y2f(x,y) = (x+y)e^{-x^2-y^2} について、次の問いに答えよ.

(a) ff の停留点をすべて求めよ.

(b) (a)で求めた停留点ごとにヘッセ行列 H=[∂2f(x,y)∂x2∂2f(x,y)∂x∂y∂2f(x,y)∂x∂y∂2f(x,y)∂y2]H = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2} \end{bmatrix} とその固有値を求めよ.

(c) (b)で求めた固有値を用いて、(a)で求めた停留点がそれぞれ極大点, 極小点, 鞍点のいずれであるかを示せ.

题目描述​

给定函数

f(x,y)=(x+y)e−x2−y2.f(x,y)=(x+y)e^{-x^2-y^2}.

  1. 求 ff 的全部驻点；

  2. 对第 1 问求得的每个驻点，分别计算 Hessian 矩阵

    H=[∂2f(x,y)∂x2∂2f(x,y)∂x∂y∂2f(x,y)∂x∂y∂2f(x,y)∂y2]H= \begin{bmatrix} \dfrac{\partial^2f(x,y)}{\partial x^2}& \dfrac{\partial^2f(x,y)}{\partial x\partial y}\\[6pt] \dfrac{\partial^2f(x,y)}{\partial x\partial y}& \dfrac{\partial^2f(x,y)}{\partial y^2} \end{bmatrix}

    及其全部特征值；

  3. 利用第 2 问所得特征值，说明第 1 问的每个驻点分别是极大点、极小点还是鞍点。

Kai​

関数

f(x,y)=(x+y)e−x2−y2f(x,y)=(x+y)e^{-x^2-y^2}

について考える．

(a) 停留点は

∂f∂x=∂f∂y=0\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial f}{\partial y} =0

を満たす点である．まず，

∂f∂x=e−x2−y2(1−2x(x+y)),∂f∂y=e−x2−y2(1−2y(x+y))\frac{\partial f}{\partial x} =e^{-x^2-y^2}\bigl(1-2x(x+y)\bigr), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =e^{-x^2-y^2}\bigl(1-2y(x+y)\bigr)

である． e−x2−y2>0e^{-x^2-y^2}>0 であるから，

1−2x(x+y)=0,1−2y(x+y)=01-2x(x+y)=0, \qquad 1-2y(x+y)=0

を解けばよい．両式を比較すると，

x(x+y)=y(x+y)x(x+y)=y(x+y)

より，

x2=y2x^2=y^2

が従う．

まず x=yx=y とすると，

1−2x(2x)=01-2x(2x)=0

より，

x2=14x^2=\frac{1}{4}

となる．したがって，

(12,12),(−12,−12)\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right), \qquad \left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)

が停留点である．

一方 x=−yx=-y の場合には

1−2x(x+y)=11-2x(x+y)=1

となり，条件を満たさない．

(b) 次にヘッセ行列を求める．二階偏微分は

∂2f∂x2=e−x2−y2[−2x(1−2x(x+y))−2(2x+y)],\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} =e^{-x^2-y^2}\bigl[-2x(1-2x(x+y))-2(2x+y)\bigr],
∂2f∂y2=e−x2−y2[−2y(1−2y(x+y))−2(x+2y)],\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} =e^{-x^2-y^2}\bigl[-2y(1-2y(x+y))-2(x+2y)\bigr],
∂2f∂x∂y=e−x2−y2[−2y(1−2x(x+y))−2x]\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} =e^{-x^2-y^2}\bigl[-2y(1-2x(x+y))-2x\bigr]

である．

停留点 (12,12)\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) においては，

H(12,12)=e−12(−3−1−1−3)H\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) =e^{-\frac12} \begin{pmatrix} -3 & -1\\ -1 & -3 \end{pmatrix}

を得る．

同様に，停留点 (−12,−12)\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right) においては，

H(−12,−12)=e−12(3113)H\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right) =e^{-\frac12} \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix}

となる．

(c) (b) の結果を用いて極値の判定を行う．

行列

(−3−1−1−3)\begin{pmatrix} -3 & -1\\ -1 & -3 \end{pmatrix}

の固有値は −2,−4-2,-4 であり，ともに負である． したがって，実際のヘッセ行列の固有値は

−2e−1/2,−4e−1/2-2e^{-1/2},\qquad -4e^{-1/2}

であり，ともに負である． したがって，

H(12,12)H\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)

は負定値であり，

(12,12)\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)

は極大点である．

一方，

(3113)\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix}

の固有値は 2,42,4 であり，ともに正である． したがって，実際のヘッセ行列の固有値は

2e−1/2,4e−1/22e^{-1/2},\qquad 4e^{-1/2}

であり，ともに正である． したがって，

H(−12,−12)H\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)

は正定値であり，

(−12,−12)\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)

は極小点である．

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