名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2021年8月実施 確率・統計

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• Nagoya-University
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• Uniform-Distribution
• Random-Variable-Transformation
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Author

Miyake

Description

出典：名古屋大学・令和4年度知能システム学専攻入試問題、確率・統計。

解の導出過程も書くこと、問題を解く上で必要なら表に示す対数の値を用いてもよい。

1

長さ $1$ の線分上の無作為に選ばれた位置に点を配置し、この点で線分を切断する。切断後の全ての線分の長さは $0$ より大きいとする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) 点を1つ配置し、線分を切断して2つに分ける、切断後の線分の中で少なくとも1つの長さが $0.7$ より長くなる確率を求めよ。

(2) 点を2つ配置し、線分を切断して3つに分ける. 切断後の線分の中で少なくとも1つの長さが $0.5$ より長くなる確率を求めよ。

2

確率変数 $X$ は区間 $[1,3]$ における連続一様分布に従う。

(1) $X$ の確率密度関数を書け。

(2) $Y = X^2 + 2$ とおくとき $Y$ の確率密度関数を求めよ。

3

$1$ から $6$ の目が全て同一の確率で出るサイコロがある。

(1) サイコロを $n$ 回振ったとき $1$ の目が出る回数を $X$ とおく、 $1$ の目が $X$ 回出る確率 $P(X)$ を書け。

(2) $1$ の目が全く出ない確率を $0.4$ 以上とするためには、サイコロを何回まで振ることができるか。

(3) サイコロを $10$ 回振ったとき、 $1$ の目が出る回数が $1$ 回以下となる確率は $0.5$ 以上になるか、理由を添えて答えよ。

対数 $\log_e x$ の値

$\log_e 2$	$\log_e 3$	$\log_e 4$	$\log_e 5$	$\log_e 6$	$\log_e 7$	$\log_e 8$	$\log_e 9$
$0.6931$	$1.0986$	$1.3863$	$1.6094$	$1.7918$	$1.9459$	$2.0794$	$2.1972$

题目描述

作答时写出推导过程；解题需要时，可以使用原题上表所列的自然对数值。

[1] 在一条长度为 $1$ 的线段上均匀随机选取位置放置切点，并沿切点切割；假定切割所得每段的长度都大于 $0$。

1. 放置一个切点，将线段分成两段。求所得线段中至少有一段长度大于 $0.7$ 的概率。
2. 独立、均匀地选取两个切点，将线段分成三段。求所得线段中至少有一段长度大于 $0.5$ 的概率。

[2] 随机变量 $X$ 服从区间 $[1,3]$ 上的连续均匀分布。

1. 写出 $X$ 的概率密度函数；
2. 定义 $Y=X^2+2$，求 $Y$ 的概率密度函数。

[3] 一枚六面骰子的点数 $1$ 至 $6$ 等概率出现。

1. 将骰子投掷 $n$ 次，以 $X$ 表示点数 $1$ 出现的次数，写出 $X$ 的概率质量函数 $P(X=x)$；
2. 若要求点数 $1$ 一次也不出现的概率不小于 $0.4$，最多可以投掷多少次？
3. 投掷 $10$ 次时，点数 $1$ 出现不超过一次的概率是否不小于 $0.5$？给出理由。

Kai

1

配置する点の位置を、線分の一端からの長さで表す。

(1)

点の位置を $X$ とすると、 切断後の線分の中で少なくとも1つの長さが $0.7$ より長くなるのは、 $0 \lt X \lt 0.3$ または $0.7 \lt X \lt 1$ のときなので、 求める確率は $0.6$ である。

(2)

2点の位置を独立な一様確率変数 $X_1, X_2$ とする。 切断後の線分の中で少なくとも1つの長さが $0.5$ より長くなるのは

$$\begin{aligned} &\text{ (i) } 0 \lt X_1 \lt 0.5 \text{ かつ } 0 \lt X_2 \lt 0.5 \text{ : 確率 } 0.25 \\ &\text{ (ii) } 0 \lt X_1 \lt 0.5 \text{ かつ } 0.5 + X_1 \lt X_2 \lt 1 \text{ : 確率 } 0.125 \\ &\text{ (iii) } 0.5 \lt X_1 \lt 1 \text{ かつ } 0.5 \lt X_2 \lt 1 \text{ : 確率 } 0.25 \\ &\text{ (iv) } 0.5 \lt X_1 \lt 1 \text{ かつ } 0 \lt X_2 \lt X_1 - 0.5 \text{ : 確率 } 0.125 \end{aligned}$$

のときなので、求める確率は $0.75$ である。

2

(1)

$X$ の確率密度関数 $f(x)$ は、 $1 \leq x \leq 3$ において、

$$\begin{aligned} f(x) = \frac{1}{2} \end{aligned}$$

であり、それ以外では $0$ である。

(2)

$Y$ の確率密度関数 $g(y)$ は、 $0$ でないのは $3 \leq y \leq 11$ のときであり、このとき

$$\begin{aligned} g(y) &= f(x) \left| \frac{dx}{dy} \right| \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y-2}} \\ &= \frac{1}{4 \sqrt{y-2}} \end{aligned}$$

である。

3

(1)

$$\begin{aligned} P(X) = {}_n \mathrm{C}_X \left( \frac{1}{6} \right)^X \left( \frac{5}{6} \right)^{n-X} \end{aligned}$$

(2)

サイコロを振る回数を $n$ とすると、求める条件は、

$$\begin{aligned} \left( \frac{5}{6} \right)^n &\geq 0.4 \\ &= \frac{2}{5} \\ n \log_e \frac{5}{6} & \geq \log_e \frac{2}{5} \\ n &\leq \frac{\log_e \frac{2}{5}}{\log_e \frac{5}{6}} \\ &= \frac{\log_e 5 - \log_e 2}{\log_e 6 - \log_e 5} \\ &\approx \frac{1.6094 - 0.6931}{1.7918 - 1.6094} \\ &\approx 5.02 \end{aligned}$$

であるから、5回まで振ることができる。

(3)

サイコロを10回振ったとき1の目が出る回数が1回以下となる確率を $p$ とすると、

$$\begin{aligned} p &= \left( \frac{5}{6} \right)^{10} + 10 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^9 \\ &= \left( \frac{5}{6} \right)^9 \cdot \frac{5}{2} \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} \log_e p &= 9 (\log_e 5 - \log_e 6) + \log_e 5 - \log_e 2 \\ &= 10 \log_e 5 - 9 \log_e 6 - \log_e 2 \\ &\approx -0.7253 \end{aligned}$$

である。 一方、

$$\begin{aligned} \log_e 0.5 &= \log_e \frac{1}{2} \\ &= - \log_e 2 \\ &\approx - 0.6931 \end{aligned}$$

である。 よって、

$$\begin{aligned} \log_e p \lt \log_e 0.5 \end{aligned}$$

であり、 $\log_e x$ は単調増加関数なので、 $p$ は $0.5$ 以上ではない。