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名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2021年8月実施 確率・統計

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Author​

Miyake

Description​

解の導出過程も書くこと、問題を解く上で必要なら表に示す対数の値を用いてもよい。

[1]​

長さ 11 の線分上の無作為に選ばれた位置に点を配置し、この点で線分を切断する。切断後の全ての線分の長さは 00 より大きいとする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) 点を1つ配置し、線分を切断して2つに分ける、切断後の線分の中で少なくとも1つの長さが 0.70.7 より長くなる確率を求めよ。

(2) 点を2つ配置し、線分を切断して3つに分ける. 切断後の線分の中で少なくとも1つの長さが 0.50.5 より長くなる確率を求めよ。

[2]​

確率変数 xx は区間 [1,3][1,3] における連続一様分布に従う。

(1) XX の確率密度関数を書け。

(2) Y=X2+2Y = X^2 + 2 とおくとき YY の確率密度関数を求めよ。

[3]​

11 から 66 の目が全て同一の確率で出るサイコロがある。

(1) サイコロを nn 回振ったとき 11 の目が出る回数を XX とおく、11 の目が XX 回出る確率 P(X)P(X) を書け。

(2) 11 の目が全く出ない確率を 0.40.4 以上とするためには、サイコロを何回まで振ることができるか。

(3) サイコロを 1010 回振ったとき、11 の目が出る回数が 11 回以下となる確率は 0.50.5 以上になるか、理由を添えて答えよ。

对数 log⁡ex\log_e x の値
​
log⁡e2\log_e 2log⁡e3\log_e 3log⁡e4\log_e 4log⁡e5\log_e 5log⁡e6\log_e 6log⁡e7\log_e 7log⁡e8\log_e 8log⁡e9\log_e 9
0.69310.69311.09861.09861.38631.38631.60941.60941.79181.79181.94591.94592.07942.07942.19722.1972

题目描述​

写出推导过程；必要时可使用上表给出的自然对数值。

[1] 几何概率：在长度为 1 的线段上均匀随机选点切割，并假设所得各段长度均大于 0。

  1. 选一个点切成两段，求至少一段长度大于 0.70.7 的概率。
  2. 选两个点切成三段，求至少一段长度大于 0.50.5 的概率。

[2] 随机变量变换：XX 服从 [1,3][1,3] 上的连续均匀分布。写出 XX 的密度；令 Y=X2+2Y=X^2+2，求 YY 的密度。

[3] 二项分布：公平六面骰各点数等概率。

  1. 掷 nn 次，以 XX 表示出现点数 1 的次数，写出 P(X=x)P(X=x)。
  2. 为使一次点数 1 都不出现的概率不小于 0.40.4，最多可掷多少次？
  3. 掷 10 次时，出现点数 1 的次数不超过 1 的概率是否不小于 0.50.5？计算并说明。

考点​

  • 几何概率：把切点位置表示为一维或二维均匀区域，通过事件区域长度/面积求概率。
  • 均匀分布的变量变换：由单调变换 Y=X2+2Y=X^2+2 的反函数和导数求密度及支持区间。
  • 二项分布：识别单次成功概率 1/61/6，计算点概率与累积事件，并用对数不等式确定最大试验次数。

Kai​

[1]​

配置する点の位置を、線分の一端からの長さで表す。

(1)​

点の位置を XX とすると、 切断後の線分の中で少なくとも1つの長さが 0.70.7 より長くなるのは、 0<X<0.30 \lt X \lt 0.3 または 0.7<X<10.7 \lt X \lt 1 のときなので、 求める確率は 0.60.6 である。

(2)​

2点の位置を X1,X2X_1, X_2 とする。 切断後の線分の中で少なくとも1つの長さが 0.50.5 より長くなるのは

 (i) 0<X1<0.5 かつ 0<X2<0.5 : 確率 0.25 (ii) 0<X1<0.5 かつ 0.5+X1<X2<1 : 確率 0.125 (iii) 0.5<X1<1 かつ 0.5<X2<1 : 確率 0.25 (iv) 0.5<X1<1 かつ 0<X2<X1−0.5 : 確率 0.125\begin{aligned} &\text{ (i) } 0 \lt X_1 \lt 0.5 \text{ かつ } 0 \lt X_2 \lt 0.5 \text{ : 確率 } 0.25 \\ &\text{ (ii) } 0 \lt X_1 \lt 0.5 \text{ かつ } 0.5 + X_1 \lt X_2 \lt 1 \text{ : 確率 } 0.125 \\ &\text{ (iii) } 0.5 \lt X_1 \lt 1 \text{ かつ } 0.5 \lt X_2 \lt 1 \text{ : 確率 } 0.25 \\ &\text{ (iv) } 0.5 \lt X_1 \lt 1 \text{ かつ } 0 \lt X_2 \lt X_1 - 0.5 \text{ : 確率 } 0.125 \end{aligned}

のときなので、求める確率は 0.750.75 である。

[2]​

(1)​

XX の確率密度関数 f(x)f(x) は、 1≤x≤31 \leq x \leq 3 において、

f(x)=12 \begin{aligned} f(x) = \frac{1}{2} \end{aligned}

であり、それ以外では 00 である。

(2)​

YY の確率密度関数 g(y)g(y) は、 00 でないのは 3≤y≤113 \leq y \leq 11 のときであり、このとき

g(y)=f(x)∣dxdy∣=12⋅12y−2=14y−2\begin{aligned} g(y) &= f(x) \left| \frac{dx}{dy} \right| \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y-2}} \\ &= \frac{1}{4 \sqrt{y-2}} \end{aligned}

である。

[3]​

(1)​

P(X)=nCX(16)X(56)n−X\begin{aligned} P(X) = {}_n \mathrm{C}_X \left( \frac{1}{6} \right)^X \left( \frac{5}{6} \right)^{n-X} \end{aligned}

(2)​

サイコロを振る回数を nn とすると、求める条件は、

(56)n≥0.4=25nlog⁡e56≥log⁡e25n≤log⁡e25log⁡e56=log⁡e5−log⁡e2log⁡e6−log⁡e5≈1.6094−0.69311.7918−1.6094≈5.02\begin{aligned} \left( \frac{5}{6} \right)^n &\geq 0.4 \\ &= \frac{2}{5} \\ n \log_e \frac{5}{6} & \geq \log_e \frac{2}{5} \\ n &\leq \frac{\log_e \frac{2}{5}}{\log_e \frac{5}{6}} \\ &= \frac{\log_e 5 - \log_e 2}{\log_e 6 - \log_e 5} \\ &\approx \frac{1.6094 - 0.6931}{1.7918 - 1.6094} \\ &\approx 5.02 \end{aligned}

であるから、5回まで振ることができる。

(3)​

サイコロを10回振ったとき1の目が出る回数が1回以下となる確率を pp とすると、

p=(56)10+10⋅16⋅(56)9=(56)9⋅52\begin{aligned} p &= \left( \frac{5}{6} \right)^{10} + 10 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^9 \\ &= \left( \frac{5}{6} \right)^9 \cdot \frac{5}{2} \end{aligned}

なので、

log⁡ep=9(log⁡e5−log⁡e6)+log⁡e5−log⁡e2=10log⁡e5−9log⁡e6−log⁡e2≈−0.7253\begin{aligned} \log_e p &= 9 (\log_e 5 - \log_e 6) + \log_e 5 - \log_e 2 \\ &= 10 \log_e 5 - 9 \log_e 6 - \log_e 2 \\ &\approx -0.7253 \end{aligned}

である。 一方、

log⁡e0.5=log⁡e12=−log⁡e2≈−0.6931\begin{aligned} \log_e 0.5 &= \log_e \frac{1}{2} \\ &= - \log_e 2 \\ &\approx - 0.6931 \end{aligned}

である。 よって、

log⁡ep<log⁡e0.5\begin{aligned} \log_e p \lt \log_e 0.5 \end{aligned}

であり、 log⁡ex\log_e x は単調増加関数なので、 pp は 0.50.5 以上ではない。

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