名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2021年8月実施 確率・統計

Author

Miyake

Description

解の導出過程も書くこと、問題を解く上で必要なら表に示す対数の値を用いてもよい。

[1]

長さ の線分上の無作為に選ばれた位置に点を配置し、この点で線分を切断する。切断後の全ての線分の長さは より大きいとする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) 点を1つ配置し、線分を切断して2つに分ける、切断後の線分の中で少なくとも1つの長さが より長くなる確率を求めよ。

(2) 点を2つ配置し、線分を切断して3つに分ける. 切断後の線分の中で少なくとも1つの長さが より長くなる確率を求めよ。

[2]

確率変数 は区間 における連続一様分布に従う。

(1) の確率密度関数を書け。

(2) とおくとき の確率密度関数を求めよ。

[3]

から の目が全て同一の確率で出るサイコロがある。

(1) サイコロを 回振ったとき の目が出る回数を とおく、 の目が 回出る確率 を書け。

(2) の目が全く出ない確率を 以上とするためには、サイコロを何回まで振ることができるか。

(3) サイコロを 回振ったとき、 の目が出る回数が 回以下となる確率は 以上になるか、理由を添えて答えよ。

对数 の値

Kai

[1]

配置する点の位置を、線分の一端からの長さで表す。

(1)

点の位置を とすると、 切断後の線分の中で少なくとも1つの長さが より長くなるのは、 または のときなので、 求める確率は である。

(2)

2点の位置を とする。 切断後の線分の中で少なくとも1つの長さが より長くなるのは

のときなので、求める確率は である。

[2]

(1)

の確率密度関数 は、 において、

であり、それ以外では である。

(2)

の確率密度関数 は、 でないのは のときであり、このとき

である。

[3]

(1)

(2)

サイコロを振る回数を とすると、求める条件は、

であるから、5回まで振ることができる。

(3)

サイコロを10回振ったとき1の目が出る回数が1回以下となる確率を とすると、

なので、

である。 一方、

である。 よって、

であり、 は単調増加関数なので、 は 以上ではない。