名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2021年8月実施 解析・線形代数

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• Cauchy-Euler-Equation
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Author

Miyake

Description

题目描述

原始 Description 未提供题面；以下四题仅依据 Kai 恢复，所列条件与小问均限于现有解答可以唯一确定的内容。

[1] 求复方程

$$(z+1)^2=2i$$

的全部解。

[2] 对函数

$$f(x,y)=x^3+y^3-3xy$$

求全部驻点，利用 Hessian 判断各驻点是否为极值点或鞍点，并求相应的极值。

[3] 给定二次型

$$Q(x,y)=ax^2+2(a+1)xy+ay^2.$$

1. 写出满足 $Q(x,y)=(x,y)A(x,y)^\top$ 的实对称矩阵 $A$；
2. 求 $A$ 的全部特征值；
3. 求使 $Q$ 为定号二次型的实数 $a$ 的范围。

[4] 在 $x>0$ 上考察 Cauchy–Euler 方程

$$x^2y''-3xy'+4y=0.$$

1. 令 $y=x^m$，求一个幂函数解；
2. 令 $y=x^2u(x)$、$z=u'(x)$，导出 $z$ 所满足的一阶微分方程；
3. 求第二个与前一解线性无关的解，并写出原方程的通解。

Kai

$$1$$

$$\begin{aligned} (z+1)^2 &= 2i \\ z+1 &= \pm \sqrt{2} \cdot \frac{1+i}{\sqrt{2}} \\ &= \pm (1+i) \\ \therefore \ \ z &= i, -2-i \end{aligned}$$

$$2$$

まず、

$$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3y &, \ \ \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 3x , \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x , \ \ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6y &, \ \ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = -3 \end{aligned}$$

であり、 $\partial f/\partial x = \partial f/\partial y = 0$ となるのは、 $(x,y)=(0,0),(1,1)$ のときである。

$(x,y)=(0,0)$ でのヘッセ行列は、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -3 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

であり、これの2つの固有値を $\alpha, \beta$ とすると、 $\alpha \beta = -9$ から異符号である。 よって、この点は鞍点であり、極値を与えない。

$(x,y)=(1,1)$ でのヘッセ行列は、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ -3 & 6 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

であり、これの2つの固有値を $\alpha, \beta$ とすると、 $\alpha + \beta = 12, \alpha \beta = 27$ から、どちらも正である。 よって、この点で極小値をとり、その値は $f(1,1)=-2$ である。

$$3$$

(a)

$$\begin{aligned} A = \begin{pmatrix} a & a+1 \\ a+1 & a \end{pmatrix} \end{aligned}$$

(b)

$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、

$$\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} a - \lambda & a+1 \\ a+1 & a - \lambda \end{pmatrix} \\ &= (\lambda + 1)(\lambda - 2a - 1) \\ \therefore \ \ \lambda &= -1, 2a+1 \end{aligned}$$

である。

( $c$ )

2次形式 $Q$ が定符号であるということは、 対称行列 $A$ の2つの固有値が同符号であるということなので、 求める範囲は

$$\begin{aligned} 2a+1 &\lt 0 \\ \therefore \ \ a &\lt - \frac{1}{2} \end{aligned}$$

である。

$$4$$

(a)

$y=x^m$ とすると、

$$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= m x^{m-1} \\ \frac{d^2 y}{dx^2} &= m(m-1) x^{m-2} \end{aligned}$$

であり、これらを与えられた微分方程式 (*) に代入して、 $x \gt 0$ に注意して整理すると、

$$\begin{aligned} (m-2)^2 &= 0 \\ \therefore \ \ m &= 2 \end{aligned}$$

を得る。 実際、

$$\begin{aligned} y = x^2 \end{aligned}$$

が (*) の解であることは簡単に確かめられる。

(b)

$y=x^2 u(x)$ として、 $z = du/dx$ を使うと、

$$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= 2xu + x^2 z \\ \frac{d^2 y}{dx^2} &= 2u + 4xz + x^2 \frac{dz}{dx} \end{aligned}$$

であり、これらを与えられた微分方程式 (*) に代入して、 $x \gt 0$ に注意して整理すると、

$$\begin{aligned} x \frac{dz}{dx} + z = 0 \end{aligned}$$

を得る。

( $c$ )

(b) で得られた微分方程式を積分して、積分定数を適当に選ぶと、

$$\begin{aligned} z &= \frac{1}{x} \\ u &= \log x \end{aligned}$$

を得る。 実際、 $y = x^2 \log x$ は () を満たす。 以上より、 () の一般解は、任意定数を $A,B$ として、

$$\begin{aligned} y = A x^2 + B x^2 \log x \end{aligned}$$

である。