名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2021年8月実施 解析・線形代数

Author

Miyake

Description

Kai

[1]

[2]

まず、

であり、 となるのは、 のときである。

でのヘッセ行列は、

であり、これの2つの固有値を とすると、 から異符号である。 よって、この点は鞍点であり、極値を与えない。

でのヘッセ行列は、

であり、これの2つの固有値を とすると、 から、どちらも正である。 よって、この点で極小値をとり、その値は である。

[3]

(a)

(b)

の固有値を とすると、

である。

((c))

2次形式 が定符号であるということは、 対称行列 の2つの固有値が同符号であるということなので、 求める範囲は

である。

[4]

(a)

とすると、

であり、これらを与えられた微分方程式 (*) に代入して、 に注意して整理すると、

を得る。 実際、

が (*) の解であることは簡単に確かめられる。

(b)

として、 を使うと、

であり、これらを与えられた微分方程式 (*) に代入して、 に注意して整理すると、

を得る。

((c))

(b) で得られた微分方程式を積分して、積分定数を適当に選ぶと、

を得る。 実際、 は () を満たす。 以上より、 () の一般解は、任意定数を として、

である。