名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2019年8月実施 解析・線形代数

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Author

Miyake

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題意の要約。出典：名古屋大学・令和2年度知能システム学専攻入試問題、解析・線形代数。導出過程も示す。

1

$n$ を実数、$i$ を虚数単位とし、$z=(1+i)^n=u+vi$ と表す。

(a) $n=8$ の場合の $u,v$ を求める。

(b) $|z|=8$ の場合の $u,v$ を求める。

2

次の二つの行列を考える。

$$P=\frac15\begin{pmatrix}7&4\\4&13\end{pmatrix},\qquad Q=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}.$$

(a) $P$ の固有値と、それぞれに対応する単位固有ベクトルを求める。

(b) $\boldsymbol q=(x,y)^T$ として、$\boldsymbol q^TP\boldsymbol q<1<\boldsymbol q^TQ\boldsymbol q$ を満たす $(x,y)$ の領域を図示する。$T$ は転置を表す。

3

時刻 $t$ における動点 $P$ の座標を $x=\sin^3t,\ y=\cos^3t$ とする。

(a) $0\le t\le2\pi$ の間に描く軌跡の長さを求める。

(b) $0<t<\pi/2$ の範囲で、速さが最大になるときの $P$ の座標を求める。

题目描述

[1] 回答下列复数问题。

1. 将 $z=(1+i)^8$ 写成 $u+iv$ 的形式，并求实数 $u,v$。
2. 设 $n$ 为实数，$z=(1+i)^n=u+iv$，且 $|z|=8$，求 $n,u,v$。

[2] 给定

$$P=\frac15\begin{pmatrix}7&4\\4&13\end{pmatrix},\qquad Q=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}.$$

1. 求 $P$ 的特征值及各自的单位特征向量。
2. 令 $\boldsymbol q=(x,y)^T$，画出满足 $\boldsymbol q^TP\boldsymbol q<1<\boldsymbol q^TQ\boldsymbol q$ 的区域。

[3] 点 $P=(x,y)$ 按参数方程

$$x=\sin^3t,\qquad y=\cos^3t,\qquad0\le t\le2\pi$$

运动。求：

1. 点 $P$ 走完该闭曲线一周的路程，即曲线的弧长；
2. 在 $0<t<\pi/2$ 内，点 $P$ 的速度大小取得最大值时的 $t$，以及此时 $P$ 的坐标。

Kai

1

(a)

$$\begin{aligned} z = \left( 1 + i \right)^8 = \left( \sqrt{2} e^{ \frac{\pi}{4} i } \right)^8 = 2^4 e^{ 2 \pi i } = 16 \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} u=16, v=0 \end{aligned}$$

である。

(b)

$8 = |z| = 2^{n/2}$ より、 $n=6$ なので、

$$\begin{aligned} z = \left( 1 + i \right)^6 = \left( \sqrt{2} e^{ \frac{\pi}{4} i } \right)^6 = 2^3 e^{ \frac{3}{2} \pi i } = -8i \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} u=0, v=-8 \end{aligned}$$

である。

2

(a)

$$\det(\lambda I-P)=\lambda^2-4\lambda+3=(\lambda-1)(\lambda-3).$$

固有値と対応する単位固有ベクトルは

$$\lambda_1=1,\qquad \boldsymbol v_1=\pm\frac1{\sqrt5}(2,-1)^T,$$

$$\lambda_2=3,\qquad \boldsymbol v_2=\pm\frac1{\sqrt5}(1,2)^T$$

である。

(b)

直交行列 $S=\frac1{\sqrt5}\begin{pmatrix}2&1\\-1&2\end{pmatrix}$ により

$$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =S\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}$$

と変換すると、$S^TPS=\operatorname{diag}(1,3)$、$S^TQS=2I$ である。したがって、求める領域は

$$\boxed{u^2+3v^2<1,\qquad u^2+v^2>\frac12}$$

となる。すなわち、長軸が $(2,-1)^T$ 方向、半軸が $1,1/\sqrt3$ の楕円の内側で、半径 $1/\sqrt2$ の円の外側にある二つの領域である。両方の境界は含まない。

円と楕円の交点は $(u,v)=(\pm1/2,\pm1/2)$（符号は独立）である。

3

(a)

時刻 $t$ における P の速度の大きさを $v(t)$ とすると、

$$\begin{aligned} v(t) &= \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \\ &= \sqrt{ 9 \sin^4 t \cos^2 t + 9 \sin^2 t \cos^4 t } \\ &= \sqrt{ 9 \sin^2 t \cos^2 t } \\ &= \frac{3}{2} \left| \sin 2t \right| \end{aligned}$$

であるから、求める長さ $l$ は

$$\begin{aligned} l &= \int_0^{2 \pi} v(t) dt \\ &= \frac{3}{2} \int_0^{2 \pi} \left| \sin 2t \right| dt \\ &= 3 \int_0^{\pi} \left| \sin 2t \right| dt \\ &= 3 \left( \int_0^{\pi/2} \sin 2t dt - \int_{\pi/2}^{\pi} \sin 2t dt \right) \\ &= \frac{3}{2} \left( - \left[ \cos 2t \right]_0^{\pi/2} + \left[ \cos 2t \right]_{\pi/2}^{\pi} \right) \\ &= 6 \end{aligned}$$

である。

(b)

$0 \lt t \lt \pi / 2$ において、

$$\begin{aligned} v(t) &= \frac{3}{2} \sin 2t \end{aligned}$$

であるから、 $v(t)$ が最大になるのは、 $t = \pi / 4$ のときであり、 このとき、

$$\begin{aligned} x &= \sin^3 \frac{\pi}{4} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^3 = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \\ y &= \cos^3 \frac{\pi}{4} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^3 = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \end{aligned}$$

である。