名古屋大学情報学研究科知能システム学専攻 2019年8月実施解析・線形代数

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原始 Description 未提供题面；以下内容仅恢复 Kai 中可以唯一确定的条件与设问。Kai 的第 2 题同样为空，无法确定其题面或作答要求。

[1] 回答下列复数问题。

[2] 原题面与 Kai 均缺失，现有材料不足以恢复本题。

[3] 点 $P=(x,y)$ 按参数方程

x=\sin^3t,\qquad y=\cos^3t,\qquad0\le t\le2\pi

运动。求：

1

\begin{aligned} z = \left( 1 + i \right)^8 = \left( \sqrt{2} e^{ \frac{\pi}{4} i } \right)^8 = 2^4 e^{ 2 \pi i } = 16 \end{aligned}

であるから、

\begin{aligned} u=16, v=0 \end{aligned}

である。

$8 = |z| = 2^{n/2}$ より、 $n=6$ なので、

\begin{aligned} z = \left( 1 + i \right)^6 = \left( \sqrt{2} e^{ \frac{\pi}{4} i } \right)^6 = 2^3 e^{ \frac{3}{2} \pi i } = -8i \end{aligned}

であるから、

\begin{aligned} u=0, v=-8 \end{aligned}

である。

2

3

時刻 $t$ における P の速度の大きさを $v(t)$ とすると、

\begin{aligned} v(t) &= \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \\ &= \sqrt{ 9 \sin^4 t \cos^2 t + 9 \sin^2 t \cos^4 t } \\ &= \sqrt{ 9 \sin^2 t \cos^2 t } \\ &= \frac{3}{2} \left| \sin 2t \right| \end{aligned}

であるから、求める長さ $l$ は

\begin{aligned} l &= \int_0^{2 \pi} v(t) dt \\ &= \frac{3}{2} \int_0^{2 \pi} \left| \sin 2t \right| dt \\ &= 3 \int_0^{\pi} \left| \sin 2t \right| dt \\ &= 3 \left( \int_0^{\pi/2} \sin 2t dt - \int_{\pi/2}^{\pi} \sin 2t dt \right) \\ &= \frac{3}{2} \left( - \left[ \cos 2t \right]_0^{\pi/2} + \left[ \cos 2t \right]_{\pi/2}^{\pi} \right) \\ &= 6 \end{aligned}

である。

$0 \lt t \lt \pi / 2$ において、

\begin{aligned} v(t) &= \frac{3}{2} \sin 2t \end{aligned}

であるから、 $v(t)$ が最大になるのは、 $t = \pi / 4$ のときであり、このとき、

\begin{aligned} x &= \sin^3 \frac{\pi}{4} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^3 = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \\ y &= \cos^3 \frac{\pi}{4} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^3 = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \end{aligned}

である。