名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2018年8月実施 概率统计

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

確率変数X,Yの同時確率密度関数 $f_{X,Y}(x,y)$ が次式で与えられている。ただし、 $a$ は定数である。このとき、以下の問いに答えよ。

$$f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} a(x^2 - y^2)e^{-x} & (0 \leq x, -x \leq y \leq x) \\ 0 & (otherwise) \end{cases}$$

(1) $f_{X,Y}(x,y)$ が最大となる $x, y$ の値を求めよ。

(2) 周辺密度関数 $f_X(x)$ を定数 $a$ を用いて表せ。

(3) 定数 $a$ の値を求めよ。

(4) 確率変数 $X$ の期待値 $\mu_X$ を求めよ。

题目描述

随机变量 $X,Y$ 的联合概率密度函数为

$$f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} a(x^2-y^2)e^{-x},&0\le x,\ -x\le y\le x,\\ 0,&\text{其他}, \end{cases}$$

其中 $a$ 为常数。

1. 求使 $f_{X,Y}(x,y)$ 取得最大值的 $x,y$；
2. 用常数 $a$ 表示 $X$ 的边缘概率密度函数 $f_X(x)$；
3. 求 $a$；
4. 求 $X$ 的期望 $\mu_X$。

Kai

(1) $f_{X,Y}$ は確率密度であり恒等的に $0$ ではないから $a>0$ である。固定した $x\geq0$ に対して $x^2-y^2$ は $y=0$ で最大となるため、全体の最大値を求めるには $a x^2e^{-x}$ を $x\geq0$ で最大化すればよい。そこで微分を計算する。

$\frac{d}{dx} (x^2 e^{-x}) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = x e^{-x} (2 - x)$ .

この導関数が 0 になるのは $x = 0$ または $x = 2$ の時である。 $x=0$ では $f_{X,Y}(x,y) = 0$ となるので、 $x=2$ が最大値を与える可能性がある。 $x = 2$ の時、 $y = 0$ である。 よって、 $x = 2$ , $y = 0$ が $f_{X,Y}(x,y)$ を最大にする。

(2) 周辺密度関数は

$$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dy = \int_{-x}^{x} a(x^2 - y^2)e^{-x} dy = a e^{-x} \int_{-x}^{x} (x^2 - y^2) dy$$

$$= a e^{-x} \left[ x^2 y - \frac{y^3}{3} \right]_{-x}^{x} = a e^{-x} \left[ (x^3 - \frac{x^3}{3}) - (-x^3 + \frac{x^3}{3}) \right] = a e^{-x} \left[ 2x^3 - \frac{2x^3}{3} \right] = a e^{-x} \frac{4}{3} x^3 = \frac{4}{3} a x^3 e^{-x}$$

for $x \ge 0$ . $f_X(x) = 0$ for $x < 0$ .

(3) $f_X(x)$ は確率密度関数なので、 $\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx = 1$ を満たす必要がある。

$$\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx = \int_0^{\infty} \frac{4}{3} a x^3 e^{-x} dx = 1$$

$$\frac{4}{3} a \int_0^{\infty} x^3 e^{-x} dx = 1$$

$$\int_0^{\infty} x^3 e^{-x} dx = \Gamma(4) = 3! = 6$$

$$\frac{4}{3} a (6) = 1$$

$$8a = 1$$

$$a = \frac{1}{8}$$

(4) 期待値は

$$\mu_X = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx = \int_0^{\infty} x \frac{4}{3} a x^3 e^{-x} dx = \frac{4}{3} a \int_0^{\infty} x^4 e^{-x} dx$$

$$= \frac{4}{3} a \Gamma(5) = \frac{4}{3} a (4!) = \frac{4}{3} a (24) = 32 a$$

$a = \frac{1}{8}$ なので

$$\mu_X = 32 \cdot \frac{1}{8} = 4$$