名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2018年8月実施 概率统计

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• Nagoya-University
• Expectation-and-Variance

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

表 (head) が出る確率と裏 (tail) が出る確率がともに $1/2$ であるコイン (coin) 1枚を連続して投げ、『裏表表』、『表表表』のような事前に決めた系列 (sequence) が出現したら終了するものとする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) 『裏表表』という系列に決めた場合に3回で終了する確率、すなわち、1回目が裏,2回目が表、3回目が表となる確率を求めよ。

(2) 『裏裏表表』という系列に決めた場合にちょうど4回で終了する確率を求めよ.

(3) 『表表表』という系列に決めた場合にちょうど4回で終了する確率を求めよ.

(4) 初めて表が出るまでにコインを投げる回数の期待値を $E(\text{表})$ と書くとき $E(\text{表})$ を求めよ。

(5) 初めて2回続けて表が出るまでにコインを投げる回数の期待値を $E(\text{表表})$ と書くとき $E(\text{表表})$ を求めよ。なお、初めて表が出た直後に表が出た場合はその時点で2回続けて表が出たことになり、裏が出た場合はその後2回続けて表が出るまでにコインを投げる回数の期待値が $E(\text{表表})$ と等しくなることから以下の式が成立する.

$$E(\text{表表}) = \frac{E(\text{表})+1}{2} + \frac{E(\text{表})+1+E(\text{表表})}{2}$$

(6) 『表表表』という系列に決めた場合のコインを投げる回数の期待値を求めよ.

题目描述

连续投掷一枚公平硬币，正面与反面出现的概率均为 $1/2$。事先指定一个序列，例如“反正正”或“正正正”；一旦连续投掷结果中首次出现该序列，试验即结束。

1. 指定序列为“反正正”时，求试验在第 $3$ 次投掷后结束的概率，即前三次依次为反面、正面、正面的概率；

2. 指定序列为“反反正正”时，求试验恰在第 $4$ 次投掷后结束的概率；

3. 指定序列为“正正正”时，求试验恰在第 $4$ 次投掷后结束的概率；

4. 以 $E(\text{正})$ 表示首次出现正面前所需投掷次数的期望，求 $E(\text{正})$；

5. 以 $E(\text{正正})$ 表示首次出现连续两个正面前所需投掷次数的期望，求 $E(\text{正正})$。若首次出现正面后的下一次仍为正面，此时即完成连续两个正面；若下一次为反面，则从此以后完成连续两个正面所需投掷次数的期望仍为 $E(\text{正正})$。因此可使用

   $$E(\text{正正}) =\frac{E(\text{正})+1}{2} +\frac{E(\text{正})+1+E(\text{正正})}{2};$$

6. 指定序列为“正正正”时，求试验结束前投掷次数的期望。

Kai

(1) 1回目が裏、2回目と3回目が表である確率は

$$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$$

(2) 『裏裏表表』という系列に決めた場合にちょうど4回で終了する確率は

$$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$$

(3) 『表表表』という系列に決めた場合にちょうど4回で終了する確率は、「裏表表表」の場合のみ。 よって

$$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$$

(4) 初めて表が出るまでの回数の期待値 $E(表)$ は、幾何分布に従う。よって

$$E(表) = \frac{1}{p} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$$

(5) 問題文より、

$$E(\text{表表}) = \frac{E(\text{表})+1}{2} + \frac{E(\text{表})+1+E(\text{表表})}{2}$$

$$E(\text{表表}) = \frac{2+1}{2} + \frac{2+1+E(\text{表表})}{2}$$

$$2E(\text{表表}) = 3 + 3 + E(\text{表表})$$

$$E(\text{表表}) = 6$$

(6) 末尾に連続している表の個数が0, 1, 2である状態から、初めて「表表表」が完成するまでの追加投数の期待値をそれぞれ $E_0,E_1,E_2$ とする。次の1投について場合分けすると、

$$\begin{aligned} E_0&=1+\frac12E_0+\frac12E_1,\\ E_1&=1+\frac12E_0+\frac12E_2,\\ E_2&=1+\frac12E_0. \end{aligned}$$

第1式から $E_0=2+E_1$ である。また、

$$E_1=1+\frac12E_0+\frac12\left(1+\frac12E_0\right) =\frac32+\frac34E_0.$$

したがって、

$$E_0=2+\frac32+\frac34E_0 \quad\Longrightarrow\quad \frac14E_0=\frac72,$$

よって求める期待値は

$$\boxed{E_0=14}.$$