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名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2017年8月実施 概率统计

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

確率変数 XX の確率密度関数 f(x)f(x) が次式で与えられている。ただし aa は定数とする。

f(x)={12x2(a−x)(0≤x≤1)0(上記以外)f(x) = \begin{cases} 12x^2(a-x) & (0 \leq x \leq 1) \\ 0 & (\text{上記以外}) \end{cases}

(1) aa の値を求めよ。

(2) 確率変数 XX の値が 1/31/3 以下となる確率を求めよ。

(3) 確率変数 XX の平均 μ\mu と分散 σ2\sigma^2 を求めよ。

(4) 表が出る確率 θ\theta の確率分布が f(θ)f(\theta) で与えられたコインがあるとする。このコインを nn 回投げたときにすべて裏が出る確率の期待値を求めよ。ただし、 nn 回の試行の間、 θ\theta の値は変動しないものとする。

题目描述​

随机变量 XX 的概率密度函数为

f(x)={12x2(a−x),0≤x≤1,0,其他,f(x)= \begin{cases} 12x^2(a-x),&0\le x\le1,\\ 0,&\text{其他}, \end{cases}

其中 aa 为常数。

  1. 求 aa；
  2. 求 P(X≤13)P\left(X\le\dfrac13\right)；
  3. 求 XX 的均值 μ\mu 与方差 σ2\sigma^2；
  4. 有一枚硬币，其出现正面的概率 θ\theta 本身服从密度 f(θ)f(\theta)。将该硬币投掷 nn 次，求“所有投掷均为反面”这一概率的期望；在这 nn 次试验期间，θ\theta 的值保持不变。

Kai​

(1) 確率密度関数の定義より、全区間における積分が1となる必要があるため、

∫−∞∞f(x)dx=1\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1
∫0112x2(a−x)dx=1\int_0^1 12x^2(a-x) dx = 1
12∫01(ax2−x3)dx=112 \int_0^1 (ax^2 - x^3) dx = 1
12[ax33−x44]01=112 \left[ \frac{ax^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = 1
12(a3−14)=112 \left( \frac{a}{3} - \frac{1}{4} \right) = 1
4a−3=14a - 3 = 1
4a=44a = 4
a=1a = 1

(2) XX の値が 1/31/3 以下となる確率を求める。

P(X≤13)=∫01312x2(1−x)dx=12∫013(x2−x3)dxP\left(X \leq \frac{1}{3}\right) = \int_0^{\frac{1}{3}} 12x^2(1-x) dx = 12 \int_0^{\frac{1}{3}} (x^2 - x^3) dx
=12[x33−x44]013=12(13⋅127−14⋅181)= 12 \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^{\frac{1}{3}} = 12 \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{27} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{81} \right)
=12(181−1324)=12(4−1324)=12⋅3324=36324=19= 12 \left( \frac{1}{81} - \frac{1}{324} \right) = 12 \left( \frac{4-1}{324} \right) = 12 \cdot \frac{3}{324} = \frac{36}{324} = \frac{1}{9}

(3) 平均 μ\mu を求める。

μ=E[X]=∫01x⋅12x2(1−x)dx=12∫01(x3−x4)dx\mu = E[X] = \int_0^1 x \cdot 12x^2(1-x) dx = 12 \int_0^1 (x^3 - x^4) dx
=12[x44−x55]01=12(14−15)=12⋅120=35= 12 \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = 12 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) = 12 \cdot \frac{1}{20} = \frac{3}{5}

分散 σ2\sigma^2 を求める。

E[X2]=∫01x2⋅12x2(1−x)dx=12∫01(x4−x5)dxE[X^2] = \int_0^1 x^2 \cdot 12x^2(1-x) dx = 12 \int_0^1 (x^4 - x^5) dx
=12[x55−x66]01=12(15−16)=12⋅130=25= 12 \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{x^6}{6} \right]_0^1 = 12 \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) = 12 \cdot \frac{1}{30} = \frac{2}{5}
σ2=E[X2]−(E[X])2=25−(35)2=25−925=10−925=125\sigma^2 = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{2}{5} - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{2}{5} - \frac{9}{25} = \frac{10-9}{25} = \frac{1}{25}

(4) すべて裏が出る確率の期待値を求める。 nn 回全て裏が出る確率は (1−θ)n(1-\theta)^n であり、 θ\theta の確率分布は f(θ)=12θ2(1−θ)f(\theta) = 12\theta^2(1-\theta) なので、期待値は、

E[(1−θ)n]=∫01(1−θ)nf(θ)dθ=∫01(1−θ)n12θ2(1−θ)dθE[(1-\theta)^n] = \int_0^1 (1-\theta)^n f(\theta) d\theta = \int_0^1 (1-\theta)^n 12\theta^2(1-\theta) d\theta
=12∫01(1−θ)n+1θ2dθ= 12 \int_0^1 (1-\theta)^{n+1} \theta^2 d\theta

ここで、部分積分を行う。 u=θ2,dv=(1−θ)n+1dθu=\theta^2, dv=(1-\theta)^{n+1}d\theta とすると、 du=2θdθ,v=−(1−θ)n+2n+2du=2\theta d\theta, v = -\frac{(1-\theta)^{n+2}}{n+2} なので、

12∫01(1−θ)n+1θ2dθ=12[−θ2(1−θ)n+2n+2]01+12∫01(1−θ)n+2n+22θdθ12 \int_0^1 (1-\theta)^{n+1} \theta^2 d\theta = 12 \left[ -\theta^2 \frac{(1-\theta)^{n+2}}{n+2} \right]_0^1 + 12\int_0^1 \frac{(1-\theta)^{n+2}}{n+2} 2\theta d\theta
=0+24n+2∫01(1−θ)n+2θdθ= 0 + \frac{24}{n+2} \int_0^1 (1-\theta)^{n+2} \theta d\theta

もう一度部分積分を行う。 u=θ,dv=(1−θ)n+2dθu=\theta, dv = (1-\theta)^{n+2}d\theta とすると、 du=dθ,v=−(1−θ)n+3n+3du=d\theta, v = -\frac{(1-\theta)^{n+3}}{n+3} なので、

24n+2∫01(1−θ)n+2θdθ=24n+2[−θ(1−θ)n+3n+3]01+24n+2∫01(1−θ)n+3n+3dθ\frac{24}{n+2} \int_0^1 (1-\theta)^{n+2} \theta d\theta = \frac{24}{n+2} \left[ -\theta \frac{(1-\theta)^{n+3}}{n+3} \right]_0^1 + \frac{24}{n+2} \int_0^1 \frac{(1-\theta)^{n+3}}{n+3} d\theta
=0+24(n+2)(n+3)∫01(1−θ)n+3dθ=24(n+2)(n+3)[−(1−θ)n+4n+4]01= 0 + \frac{24}{(n+2)(n+3)} \int_0^1 (1-\theta)^{n+3} d\theta = \frac{24}{(n+2)(n+3)} \left[ -\frac{(1-\theta)^{n+4}}{n+4} \right]_0^1
=24(n+2)(n+3)(n+4)= \frac{24}{(n+2)(n+3)(n+4)}
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