名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2017年8月実施 概率统计

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• Nagoya-University
• Conditional-Probability

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

箱Aには赤玉が4つ、青玉が1つ、白玉が1つ入っており、箱Bには赤玉が2つ、青玉が2つ、白玉が2つ入っている。以下の問いに答えよ。ただし、2つの箱は外見上区別がつかず、玉を取り出すとき、箱の中は見えないものとする。

(1) 無作為に1つの箱を選び、その箱から玉を1つ取り出したとき、それが赤玉である確率を求めよ。

(2) 無作為に1つの箱を選び、その箱から玉を2つ取り出したとき、それらの色が異なる確率を求めよ。

(3) 1つの箱から玉を1つ取り出したとき、それが赤玉であったとする。その玉を箱に戻さずに、さらに玉を1つ取り出すとき、最初に玉を取り出したのと同じ箱から取り出す場合と、別の箱から取り出す場合、それぞれについて新たに取り出した玉が赤玉である確率を求め、どちらの場合の方が赤玉である確率が大きいか答えよ。

题目描述

盒 A 中有 $4$ 个红球、$1$ 个蓝球和 $1$ 个白球；盒 B 中有 $2$ 个红球、$2$ 个蓝球和 $2$ 个白球。两个盒子的外观无法区分，取球时也看不到盒内。

1. 随机选择一个盒子并从中取出一个球，求该球为红球的概率；

2. 随机选择一个盒子并从中取出两个球，求两球颜色不同的概率；

3. 从一个随机选取的盒子中取出一个球，已知该球为红球。将此球留在盒外、不放回，然后再取一个球。分别求

   • 从第一次取球的同一盒子中再取时，新球为红球的概率；
   • 从另一个盒子中取时，新球为红球的概率。

   比较上述两种取法，回答哪一种取得红球的概率更大。

Kai

(1) 箱 $A$ ，箱 $B$ を選ぶ確率はいずれも

$$P(A)=P(B)=\frac12$$

である．

箱 $A$ には赤玉 $4$ 個，箱 $B$ には赤玉 $2$ 個が入っており， いずれも全体は $6$ 個であるから，

$$P(\text{赤}\mid A)=\frac{4}{6}=\frac23,\qquad P(\text{赤}\mid B)=\frac{2}{6}=\frac13$$

である．したがって，全体として赤玉を取り出す確率は

$$\begin{aligned} P(\text{赤}) &=P(A)P(\text{赤}\mid A)+P(B)P(\text{赤}\mid B)\\ &=\frac12\cdot\frac23+\frac12\cdot\frac13 =\frac{1}{2} \end{aligned}$$

となる．

(2) 箱 $A$ ，箱 $B$ を選ぶ確率はいずれも $\frac12$ である．

箱 $A$ には赤 $4$ ，青 $1$ ，白 $1$ の計 $6$ 個の玉が入っているので， 異なる色の玉を $2$ 個取り出す確率は

$$P(\text{異なる}\mid A) =\frac{4\cdot1+4\cdot1+1\cdot1}{\binom{6}{2}} =\frac{9}{15} =\frac35$$

である．

箱 $B$ には赤 $2$ ，青 $2$ ，白 $2$ の計 $6$ 個の玉が入っているので，

$$P(\text{異なる}\mid B) =\frac{2\cdot2+2\cdot2+2\cdot2}{\binom{6}{2}} =\frac{12}{15} =\frac45$$

である．

したがって，全体として異なる色の玉を $2$ 個取り出す確率は

$$\begin{aligned} P(\text{異なる}) &=P(A)P(\text{異なる}\mid A)+P(B)P(\text{異なる}\mid B)\\ &=\frac12\cdot\frac35+\frac12\cdot\frac45 =\frac{7}{10} \end{aligned}$$

である．

(3) 赤玉が出たという条件の下で，最初に選ばれた箱が $A$ である確率， $B$ である確率を求める． ベイズの定理より，

$$P(A\mid \text{赤}) =\frac{P(\text{赤}\mid A)P(A)}{P(\text{赤})} =\frac{\frac23\cdot\frac12}{\frac12} =\frac23$$

$$P(B\mid \text{赤}) =\frac{P(\text{赤}\mid B)P(B)}{P(\text{赤})} =\frac{\frac13\cdot\frac12}{\frac12} =\frac13$$

である．

まず，同じ箱からもう一度玉を取り出す場合を考える． 赤玉を $1$ 個取り出した後，

$$\begin{aligned} &\text{箱 }A:\ \text{赤 }3,\ \text{青 }1,\ \text{白 }1 \\ &\text{箱 }B:\ \text{赤 }1,\ \text{青 }2,\ \text{白 }2 \end{aligned}$$

が残るので，

$$P(\text{赤}\mid A,\text{同箱})=\frac35,\qquad P(\text{赤}\mid B,\text{同箱})=\frac15$$

である．したがって，

$$\begin{aligned} P(\text{赤}\mid\text{同箱}) &=\frac23\cdot\frac35+\frac13\cdot\frac15\\ &=\frac{7}{15} \end{aligned}$$

次に，異なる箱から玉を取り出す場合を考える．

$$P(\text{赤}\mid A\to B)=\frac13,\qquad P(\text{赤}\mid B\to A)=\frac23$$

より，

$$\begin{aligned} P(\text{赤}\mid\text{別箱}) &=\frac23\cdot\frac13+\frac13\cdot\frac23\\ &=\frac{4}{9} \end{aligned}$$

ここで

$$\frac{7}{15}>\frac{4}{9}$$

であるから，赤玉が出る確率は 同じ箱から取り出す場合の方が大きい．