名古屋大学情報学研究科知能システム学専攻 2017年8月実施微积分

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思齐塾, 祭音Myyura

$a_i$ ( $i = 1, 2, ..., N$ ) を定数とするとき、次の関数 $f(x)$ の値が最大になるときの $x$ の値を求めよ。

f(x) = \prod_{i=1}^{N} e^{\frac{-(x-a_i)^2}{2}}

设 $a_i$ （ $i=1,2,\ldots,N$ ）为常数。求使函数

f(x)=\prod_{i=1}^{N} \exp\left(-\frac{(x-a_i)^2}{2}\right)

取得最大值的 $x$ 。

関数

f(x)=\prod_{i=1}^{N} e^{-\frac{(x-a_i)^2}{2}}

の最大値を与える $x$ を求める．

$\log$ は単調増加関数であるから， $f(x)$ を最大化することは $\log f(x)$ を最大化することと同値である．

\begin{aligned} \log f(x) &=\log\left(\prod_{i=1}^{N} e^{-\frac{(x-a_i)^2}{2}}\right) \\ &=\sum_{i=1}^{N} \log\left(e^{-\frac{(x-a_i)^2}{2}}\right) \\ &=-\frac12\sum_{i=1}^{N}(x-a_i)^2 \end{aligned}

したがって， $\log f(x)$ を最大化するためには，

\sum_{i=1}^{N}(x-a_i)^2

を最小化すればよい．そこで

g(x)=\sum_{i=1}^{N}(x-a_i)^2

とおく．

$g(x)$ を微分すると，

g'(x)=\sum_{i=1}^{N}2(x-a_i) =2\left(Nx-\sum_{i=1}^{N}a_i\right)

である． $g'(x)=0$ より，

Nx=\sum_{i=1}^{N}a_i

すなわち，

x=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}a_i

を得る．

さらに，

g''(x)=2N>0

であるから，この点で $g(x)$ は最小値をとる．

以上より，

x=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}a_i

のとき $\log f(x)$ ，ひいては $f(x)$ は最大となる．