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名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2017年8月実施 解析・線形代数 [2]

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

出典：名古屋大学・2018年度知能システム学専攻入試問題、解析・線形代数。導出過程も示す。

以下の問いに答えよ。ただし、 Im(z)\text{Im}(z) は複素数 zz の虚部を表す。

(a) zz 平面上の直線 Im(z)=12\text{Im}(z) = \frac{1}{2} が複素関数 w=1zw = \frac{1}{z} によって写される ww 平面上の図形を求め、図示せよ。

(b) zz 平面上の領域 Im(z)>0\text{Im}(z) > 0 が 11 次分数変換 w=αz+βz+γw = \frac{\alpha z + \beta}{z + \gamma} によって ww 平面上の領域 ∣w∣<1|w| < 1 に写されるとき、複素数 α,β,γ\alpha, \beta, \gamma を求めよ。

题目描述​

回答下列问题，其中 Im⁡(z)\operatorname{Im}(z) 表示复数 zz 的虚部。

  1. 在复函数

    w=1zw=\frac1z

    下，求 zz 平面中的直线

    Im⁡(z)=12\operatorname{Im}(z)=\frac12

    在 ww 平面上的像，并画出该图形；

  2. 一次分式变换

    w=αz+βz+γw=\frac{\alpha z+\beta}{z+\gamma}

    将 zz 平面中的上半平面 Im⁡(z)>0\operatorname{Im}(z)>0 映为 ww 平面中的单位圆盘 ∣w∣<1|w|<1。求复数 α,β,γ\alpha,\beta,\gamma。

Kai​

(a) w=1zw = \frac{1}{z} より、 z=1wz = \frac{1}{w} 。 z=x+iyz = x + iy , w=u+ivw = u + iv とおくと、 x+iy=1u+iv=u−ivu2+v2x + iy = \frac{1}{u + iv} = \frac{u - iv}{u^2 + v^2} 。 したがって、 x=uu2+v2x = \frac{u}{u^2 + v^2} , y=−vu2+v2y = \frac{-v}{u^2 + v^2} 。 Im(z)=y=12\text{Im}(z) = y = \frac{1}{2} より、 −vu2+v2=12\frac{-v}{u^2 + v^2} = \frac{1}{2} 。 これを整理すると、 u2+v2+2v=0u^2 + v^2 + 2v = 0 , つまり u2+(v+1)2=1u^2 + (v+1)^2 = 1 。 これは中心 0−i0-i , 半径1の円を表す。 有限の zz に対する 1/z1/z は 00 にならない。逆に、この円上の w≠0w\ne0 には z=1/wz=1/w が対応し、Im⁡z=1/2\operatorname{Im}z=1/2 を満たす。したがって、像は

u2+(v+1)2=1,w≠0u^2+(v+1)^2=1,\qquad w\ne0

である。

直線 Im z = 1/2 の反転像。中心 -i、半径1の円から原点を除く。

(b) 条件を満たす係数の全体は

α=eiθ,γ=p+iq,β=eiθ(p−iq),θ,p∈R,q>0\boxed{\alpha=e^{i\theta},\qquad \gamma=p+iq,\qquad \beta=e^{i\theta}(p-iq)}, \qquad \theta,p\in\mathbb R,\quad q>0

である。このとき

w=eiθz+p−iqz+p+iq.w=e^{i\theta}\frac{z+p-iq}{z+p+iq}.

実数 z=xz=x に対し ∣w∣=1|w|=1 となり、z=x+iyz=x+iy に対して

1−∣w∣2=4qy(x+p)2+(y+q)2>0(y>0)1-|w|^2=\frac{4qy}{(x+p)^2+(y+q)^2}>0\qquad(y>0)

である。逆変換は

z=β−γww−α,Im⁡z=q(1−∣w∣2)∣w−α∣2>0(∣w∣<1)z=\frac{\beta-\gamma w}{w-\alpha},\qquad \operatorname{Im}z=\frac{q(1-|w|^2)}{|w-\alpha|^2}>0\qquad(|w|<1)

となるので、上半平面の像は単位円盤全体である。

全ての解がこの形になることも示す。実軸上での ∣αx+β∣2=∣x+γ∣2|\alpha x+\beta|^2=|x+\gamma|^2 を xx の多項式として比較すると、

∣α∣=1,Re⁡(β/α)=Re⁡γ,∣β/α∣=∣γ∣|\alpha|=1,\qquad \operatorname{Re}(\beta/\alpha)=\operatorname{Re}\gamma,\qquad |\beta/\alpha|=|\gamma|

を得る。したがって β/α=γ\beta/\alpha=\gamma または γ‾\overline\gamma である。前者は定数写像となり一次分数変換ではないため除外され、後者で上半平面を円盤の内側に写す条件は Im⁡γ>0\operatorname{Im}\gamma>0 である。

例えば θ=p=0, q=1\theta=p=0,\ q=1 とすれば、α=1,β=−i,γ=i\alpha=1,\beta=-i,\gamma=i を得る。

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