名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2016年8月実施 概率统计

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• Expectation-and-Variance
• Normal-Distribution
• Cumulative-Distribution-Function-and-Probability-Density-Function

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

互いに独立な確率変数 $X$ と $Y$ がともに正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従うとする。この確率密度関数は $\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ で表される。このとき、以下の問いに答えなさい。

(1) 確率変数 $X$ のモーメント母関数（積率母関数）は $e^{tX}$ の期待値、つまり $E[e^{tX}]$ で定義される。 $X$ のモーメント母関数を $\mu$ と $\sigma$ を使って表しなさい。

(2) 確率変数 $Z$ を $Z = X + Y$ とする。 $Z$ のモーメント母関数を求め、 $Z$ も正規分布に従うことを示しなさい。

题目描述

相互独立的随机变量 $X,Y$ 均服从正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$，其概率密度函数为

$$\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right).$$

1. 随机变量 $X$ 的矩母函数定义为

   $$M_X(t)=E[e^{tX}].$$

   用 $\mu,\sigma$ 表示 $M_X(t)$；

2. 定义 $Z=X+Y$。求 $Z$ 的矩母函数，并由此证明 $Z$ 也服从正态分布。

Kai

(1) $X$ のモーメント母関数 $M_X(t) = E[e^{tX}]$ を求める。

$$M_X(t) = E[e^{tX}] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx$$

$$= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx - \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx$$

指数部分を整理する。

$$tx - \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} = -\frac{1}{2\sigma^2}(x^2 - 2\mu x + \mu^2 - 2t\sigma^2 x) = -\frac{1}{2\sigma^2}(x^2 - 2(\mu + t\sigma^2)x + \mu^2)$$

$$= -\frac{1}{2\sigma^2}(x - (\mu + t\sigma^2))^2 + \frac{(\mu + t\sigma^2)^2}{2\sigma^2} - \frac{\mu^2}{2\sigma^2} = -\frac{1}{2\sigma^2}(x - (\mu + t\sigma^2))^2 + \frac{\mu^2 + 2\mu t\sigma^2 + t^2\sigma^4 - \mu^2}{2\sigma^2}$$

$$= -\frac{1}{2\sigma^2}(x - (\mu + t\sigma^2))^2 + \mu t + \frac{t^2\sigma^2}{2}$$

したがって、

$$M_X(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x - (\mu + t\sigma^2))^2 + \mu t + \frac{t^2\sigma^2}{2}} dx = e^{\mu t + \frac{t^2\sigma^2}{2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(x - (\mu + t\sigma^2))^2}{2\sigma^2}} dx$$

$$= e^{\mu t + \frac{t^2\sigma^2}{2}} \times 1 = e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}}$$

(2) $Z = X + Y$ なので、 $Z$ のモーメント母関数 $M_Z(t) = E[e^{tZ}]$ を求める。

$$M_Z(t) = E[e^{t(X+Y)}] = E[e^{tX}e^{tY}]$$

$X$ と $Y$ は独立なので、 $E[e^{tX}e^{tY}] = E[e^{tX}]E[e^{tY}] = M_X(t)M_Y(t)$ 。

$X$ と $Y$ はともに正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従うので、 $M_X(t) = e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}}$ かつ $M_Y(t) = e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}}$

$$M_Z(t) = e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}} \times e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}} = e^{2\mu t + \sigma^2 t^2} = e^{(2\mu)t + \frac{(2\sigma^2)t^2}{2}}$$

これは正規分布 $N(2\mu, 2\sigma^2)$ のモーメント母関数である。したがって、 $Z$ も正規分布に従う。