名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2016年8月実施 概率统计

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• Nagoya-University
• Poisson-Distribution

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

ある事象が2分間に平均1回発生する場合、10分間でその事象が3回発生する確率を有効数字2桁で求めなさい。ただし、その事象の生起回数の確率はポアソン分布に従うものとし、 $e^{-1} = 0.37, e^{-2} = 0.14, e^{-3} = 0.050, e^{-4} = 0.018, e^{-5} = 0.0067$ とする。

题目描述

某事件平均每 $2$ 分钟发生 $1$ 次，且给定时间内的发生次数服从 Poisson 分布。求该事件在 $10$ 分钟内恰好发生 $3$ 次的概率，结果保留两位有效数字。可使用

$$e^{-1}=0.37,\quad e^{-2}=0.14,\quad e^{-3}=0.050,\quad e^{-4}=0.018,\quad e^{-5}=0.0067.$$

Kai

ポアソン分布の確率質量関数は以下のように表される。

$$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$

ここで、Xは事象の発生回数、kは具体的な発生回数、 $\lambda$ は平均発生回数である。

問題文より、2分間に平均1回発生するので、10分間では平均 $\frac{1}{2} \times 10 = 5$ 回発生する。したがって、 $\lambda = 5$ である。

10分間で3回発生する確率は、 $k=3$ として、

$$P(X=3) = \frac{5^3 e^{-5}}{3!} = \frac{125 e^{-5}}{6}$$

問題文より、 $e^{-5} = 0.0067$ であるから、

$$P(X=3) = \frac{125 \times 0.0067}{6} = \frac{0.8375}{6} \approx 0.13958$$

有効数字2桁で求めると、0.14となる。

したがって、答えは0.14である。