名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2016年8月実施 复变函数

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

以下の問いに答えよ。ただし、 $\text{Im}(z)$ は複素数 $z$ の虚部を表す。

(a) $z$ 平面上の直線 $\text{Im}(z) = \frac{1}{2}$ が複素関数 $w = \frac{1}{z}$ によって写される $w$ 平面上の図形を求め、図示せよ。

(b) $z$ 平面上の領域 $\text{Im}(z) > 0$ が $1$ 次分数変換 $w = \frac{\alpha z + \beta}{z + \gamma}$ によって $w$ 平面上の領域 $|w| < 1$ に写されるとき、複素数 $\alpha, \beta, \gamma$ を求めよ。

题目描述

回答下列问题，其中 $\operatorname{Im}(z)$ 表示复数 $z$ 的虚部。

1. 在复函数

   $$w=\frac1z$$

   下，求 $z$ 平面中的直线

   $$\operatorname{Im}(z)=\frac12$$

   在 $w$ 平面上的像，并画出该图形；

2. 一次分式变换

   $$w=\frac{\alpha z+\beta}{z+\gamma}$$

   将 $z$ 平面中的上半平面 $\operatorname{Im}(z)>0$ 映为 $w$ 平面中的单位圆盘 $|w|<1$。求复数 $\alpha,\beta,\gamma$。

Kai

(a) $w = \frac{1}{z}$ より、 $z = \frac{1}{w}$ 。 $z = x + iy$ , $w = u + iv$ とおくと、 $x + iy = \frac{1}{u + iv} = \frac{u - iv}{u^2 + v^2}$ 。 したがって、 $x = \frac{u}{u^2 + v^2}$ , $y = \frac{-v}{u^2 + v^2}$ 。 $\text{Im}(z) = y = \frac{1}{2}$ より、 $\frac{-v}{u^2 + v^2} = \frac{1}{2}$ 。 これを整理すると、 $u^2 + v^2 + 2v = 0$ , つまり $u^2 + (v+1)^2 = 1$ 。 これは中心 $0-i$ , 半径1の円を表す。 ただし、 $z = \frac{1}{w}$ より、 $z = x$ のとき $w = \frac{1}{x}$ は原点を通る。 $z$ 平面において $\text{Im}(z) = \frac{1}{2}$ であるから、 $z$ は実軸上には存在しない。従って $w \neq 0$ 。 したがって、 $w$ 平面上の図形は、中心 $0 - i$ , 半径1の円から原点を除いたものである。

(b) $\text{Im}(z) > 0$ を $|w| < 1$ に写す一次分数変換は、 $\{z: \text{Im}(z) > 0\}$ の境界である実軸 $\mathbb{R}$ を $|w| = 1$ に写す必要がある。 従って、実数 $z$ を代入すると $|w| = 1$ となる。また、 $\text{Im}(z) > 0$ の点が $|w| < 1$ に写される必要がある。 $\alpha = 1, \beta = -i, \gamma = i$ のとき、 $w = \frac{z - i}{z + i}$ は条件を満たす。 実際、 $|w|^2 = \frac{(z - i)(\overline{z} + i)}{(z + i)(\overline{z} - i)} = \frac{|z|^2 + i(z - \overline{z}) + 1}{|z|^2 - i(z - \overline{z}) + 1} = \frac{|z|^2 - 2 \text{Im}(z) + 1}{|z|^2 + 2 \text{Im}(z) + 1}$ $\text{Im}(z) > 0$ より $|w| < 1$ 。また、実数 $z$ に対して $|w| = 1$ 。従って、 $\alpha = 1, \beta = -i, \gamma = i$ は条件を満たす。