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名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2016年8月実施 微积分

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

次の関数 ff について、以下の問いに答えよ。

f(x,y)=sin⁡x+sin⁡y+sin⁡(x+y)(0<x<π,0<y<π)f(x, y) = \sin x + \sin y + \sin(x+y) \quad (0 < x < \pi, 0 < y < \pi)

(a) ff の停留点を求めよ。

(b) (a)で求めた停留点に対して極値をとるかどうかを判定し、 ff の極値を求めよ。

题目描述​

给定函数

f(x,y)=sin⁡x+sin⁡y+sin⁡(x+y),0<x<π,0<y<π.f(x,y)=\sin x+\sin y+\sin(x+y), \qquad0<x<\pi,\quad0<y<\pi.
  1. 求 ff 的全部驻点；
  2. 对第 1 问所得各驻点，判断 ff 是否在该点取得极值，并求相应的极值。

Kai​

(a) ff の停留点を求めるために、偏導関数を計算し、それらが 00 となる点を求めます。 まず、 f(x,y)f(x,y) を xx と yy でそれぞれ偏微分します。

∂f∂x=fx(x,y)=cos⁡x+cos⁡(x+y)\frac{\partial f}{\partial x} = f_x(x,y) = \cos x + \cos(x+y)
∂f∂y=fy(x,y)=cos⁡y+cos⁡(x+y)\frac{\partial f}{\partial y} = f_y(x,y) = \cos y + \cos(x+y)

停留点では fx=0f_x = 0 かつ fy=0f_y = 0 ですので、次の方程式系を解きます。

{cos⁡x+cos⁡(x+y)=0(1)cos⁡y+cos⁡(x+y)=0(2)\begin{cases} \cos x + \cos(x+y) = 0 & (1) \\ \cos y + \cos(x+y) = 0 & (2) \end{cases}

(1)と(2)から、 cos⁡x=cos⁡y\cos x = \cos y が得られます。 定義域が 0<x<π0 < x < \pi , 0<y<π0 < y < \pi なので、 cos⁡x=cos⁡y\cos x = \cos y から x=yx=y が導かれます。

この結果を式(1)に代入すると、

cos⁡x+cos⁡(x+x)=0\cos x + \cos(x+x) = 0
cos⁡x+cos⁡(2x)=0\cos x + \cos(2x) = 0

倍角の公式 cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 を用いて、

cos⁡x+(2cos⁡2x−1)=0\cos x + (2\cos^2 x - 1) = 0
2cos⁡2x+cos⁡x−1=02\cos^2 x + \cos x - 1 = 0

これは cos⁡x\cos x に関する二次方程式です。これを解くと、

(2cos⁡x−1)(cos⁡x+1)=0(2\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0

よって、 cos⁡x=12\cos x = \frac{1}{2} または cos⁡x=−1\cos x = -1 となります。 0<x<π0 < x < \pi の範囲で考えると、

  1. cos⁡x=12\cos x = \frac{1}{2} の場合、 x=π3x = \frac{\pi}{3} です。
  2. cos⁡x=−1\cos x = -1 の場合、 x=πx = \pi ですが、これは定義域に含まれません。

したがって、 x=π3x = \frac{\pi}{3} のみが解となります。 x=yx=y なので、 y=π3y = \frac{\pi}{3} です。 よって、停留点は (π3,π3)(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}) です。

(b) 次に、停留点 (π3,π3)(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}) が極値をとるかどうかを判定するために、二階偏導関数を計算します。

fxx(x,y)=∂2f∂x2=−sin⁡x−sin⁡(x+y)f_{xx}(x,y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -\sin x - \sin(x+y)
fyy(x,y)=∂2f∂y2=−sin⁡y−sin⁡(x+y)f_{yy}(x,y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -\sin y - \sin(x+y)
fxy(x,y)=∂2f∂x∂y=−sin⁡(x+y)f_{xy}(x,y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -\sin(x+y)

停留点 (π3,π3)(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}) におけるこれらの値を計算します。

A=fxx(π3,π3)=−sin⁡(π3)−sin⁡(2π3)=−32−32=−3A = f_{xx}\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}
C=fyy(π3,π3)=−sin⁡(π3)−sin⁡(2π3)=−32−32=−3C = f_{yy}\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}
B=fxy(π3,π3)=−sin⁡(2π3)=−32B = f_{xy}\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}

ヘッセ行列の判別式 D=AC−B2D = AC - B^2 を計算します。

D=(−3)(−3)−(−32)2=3−34=94D = (-\sqrt{3})(-\sqrt{3}) - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 3 - \frac{3}{4} = \frac{9}{4}

D>0D > 0 かつ A<0A < 0 なので、点 (π3,π3)(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}) で ff は極大値をとります。

最後に、その極大値を計算します。

f(π3,π3)=sin⁡(π3)+sin⁡(π3)+sin⁡(π3+π3)f\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)
=sin⁡(π3)+sin⁡(π3)+sin⁡(2π3)= \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)
=32+32+32=332= \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}

したがって、極値は極大値 332\frac{3\sqrt{3}}{2} です。

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