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名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2015年8月実施 概率统计

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

次の確率密度関数で表される確率変数 XX について、以下の問いに答えなさい。

fX(x)={2αe−λx(x≥0)0(x<0)f_X(x) = \begin{cases} 2\alpha e^{-\lambda x} & (x \geq 0) \\ 0 & (x < 0) \end{cases}

ただし、 α\alpha と λ\lambda は定数で、 α>0\alpha > 0 , λ>0\lambda > 0 とする。

(1) α\alpha を λ\lambda で表しなさい。

(2) XX の期待値 E(X)E(X) を λ\lambda で表しなさい。

(3) XX の分散 V(X)V(X) を λ\lambda で表しなさい。

题目描述​

随机变量 XX 的概率密度函数为

fX(x)={2αe−λx,x≥0,0,x<0,f_X(x)= \begin{cases} 2\alpha e^{-\lambda x},&x\ge0,\\ 0,&x<0, \end{cases}

其中 α,λ\alpha,\lambda 为常数，且 α>0,λ>0\alpha>0,\lambda>0。

  1. 用 λ\lambda 表示 α\alpha；
  2. 用 λ\lambda 表示期望 E(X)E(X)；
  3. 用 λ\lambda 表示方差 V(X)V(X)。

Kai​

(1) 確率密度関数の定義より、全区間で積分すると1になる。

∫−∞∞fX(x)dx=1\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx = 1
∫0∞2αe−λxdx=1\int_0^{\infty} 2\alpha e^{-\lambda x} dx = 1
2α∫0∞e−λxdx=12\alpha \int_0^{\infty} e^{-\lambda x} dx = 1
2α[−1λe−λx]0∞=12\alpha \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} = 1
2α(0−(−1λ))=12\alpha \left( 0 - \left( -\frac{1}{\lambda} \right) \right) = 1
2αλ=1\frac{2\alpha}{\lambda} = 1
α=λ2\alpha = \frac{\lambda}{2}

(2) XX の期待値 E(X)E(X) は次のように計算できる。

E(X)=∫−∞∞xfX(x)dx=∫0∞x(2αe−λx)dxE(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx = \int_0^{\infty} x (2\alpha e^{-\lambda x}) dx

α=λ2\alpha = \frac{\lambda}{2} を代入して、

E(X)=∫0∞x(2⋅λ2e−λx)dx=λ∫0∞xe−λxdxE(X) = \int_0^{\infty} x (2 \cdot \frac{\lambda}{2} e^{-\lambda x}) dx = \lambda \int_0^{\infty} x e^{-\lambda x} dx

部分積分を行う。 u=xu = x , dv=e−λxdxdv = e^{-\lambda x} dx とすると、 du=dxdu = dx , v=−1λe−λxv = -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} となる。

E(X)=λ[−xλe−λx]0∞−λ∫0∞−1λe−λxdxE(X) = \lambda \left[ -\frac{x}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} - \lambda \int_0^{\infty} -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} dx
E(X)=λ[0]+∫0∞e−λxdxE(X) = \lambda \left[ 0 \right] + \int_0^{\infty} e^{-\lambda x} dx
E(X)=[−1λe−λx]0∞=0−(−1λ)=1λE(X) = \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} = 0 - \left( -\frac{1}{\lambda} \right) = \frac{1}{\lambda}

(3) XX の分散 V(X)V(X) は V(X)=E(X2)−(E(X))2V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 で計算できる。 まず、 E(X2)E(X^2) を計算する。

E(X2)=∫−∞∞x2fX(x)dx=∫0∞x2(2αe−λx)dxE(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f_X(x) dx = \int_0^{\infty} x^2 (2\alpha e^{-\lambda x}) dx

α=λ2\alpha = \frac{\lambda}{2} を代入して、

E(X2)=λ∫0∞x2e−λxdxE(X^2) = \lambda \int_0^{\infty} x^2 e^{-\lambda x} dx

部分積分を2回行う。 u=x2u = x^2 , dv=e−λxdxdv = e^{-\lambda x} dx とすると、 du=2xdxdu = 2x dx , v=−1λe−λxv = -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} となる。

E(X2)=λ[−x2λe−λx]0∞−λ∫0∞−2xλe−λxdxE(X^2) = \lambda \left[ -\frac{x^2}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} - \lambda \int_0^{\infty} -\frac{2x}{\lambda} e^{-\lambda x} dx
E(X2)=λ[0]+2∫0∞xe−λxdxE(X^2) = \lambda \left[ 0 \right] + 2 \int_0^{\infty} x e^{-\lambda x} dx
E(X2)=2⋅1λ2=2λ2E(X^2) = 2 \cdot \frac{1}{\lambda^2} = \frac{2}{\lambda^2}

したがって、

V(X)=E(X2)−(E(X))2=2λ2−(1λ)2=2λ2−1λ2=1λ2V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \left( \frac{1}{\lambda} \right)^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}
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