名古屋大学情報学研究科知能システム学専攻 2015年8月実施概率统计

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思齐塾, 祭音Myyura

次のような確率変数 $X, Y$ の2次元同時確率分布表があるとき、以下の問いに答えなさい。

\begin{array}{c|ccc} X \backslash Y & 1 & 2 & 3 \\ \hline 1 & a & b & c \\ 2 & b & c & a \\ 3 & c & a & b \end{array}

(1) $a, b, c$ の間の関係を式で表しなさい。

(2) $X$ と $Y$ が互いに独立であるとき, $a, b, c$ の値を求めなさい。

随机变量 $X,Y$ 的二维联合概率分布表如下：

\begin{array}{c|ccc} X\backslash Y&1&2&3\\ \hline 1&a&b&c\\ 2&b&c&a\\ 3&c&a&b \end{array}

(1) $a, b, c$ の間の関係

確率分布の性質より、すべての確率の合計は $1$ になります。したがって、表中のすべての確率を合計すると、

\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} P(X=i, Y=j) = 1

表の値を代入すると、

(a+b+c) + (b+c+a) + (c+a+b) = 1

3a + 3b + 3c = 1

3(a+b+c) = 1

したがって、 $a, b, c$ の間の関係式は次のようになります。

a+b+c = \frac{1}{3}

また、確率であるため、 $a, b, c$ は非負である必要があります。

a \geq 0, \ b \geq 0, \ c \geq 0

(2) $X$ と $Y$ が独立であるときの $a, b, c$ の値

確率変数 $X$ と $Y$ が互いに独立である場合、すべての $i, j$ について次の関係が成り立ちます。

P(X=i, Y=j) = P(X=i) \cdot P(Y=j)

まず、 $X$ と $Y$ の周辺確率分布を計算します。

Xの周辺確率分布:

P(X=1) = \sum_{j=1}^{3} P(X=1, Y=j) = a+b+c

P(X=2) = \sum_{j=1}^{3} P(X=2, Y=j) = b+c+a

P(X=3) = \sum_{j=1}^{3} P(X=3, Y=j) = c+a+b

(1)の結果から、 $a+b+c = \frac{1}{3}$ なので、

P(X=1) = P(X=2) = P(X=3) = \frac{1}{3}

Yの周辺確率分布:

P(Y=1) = \sum_{i=1}^{3} P(X=i, Y=1) = a+b+c

P(Y=2) = \sum_{i=1}^{3} P(X=i, Y=2) = b+c+a

P(Y=3) = \sum_{i=1}^{3} P(X=i, Y=3) = c+a+b

同様に、

P(Y=1) = P(Y=2) = P(Y=3) = \frac{1}{3}

次に、独立性の条件を適用します。任意の $i, j$ について、

P(X=i, Y=j) = P(X=i) \cdot P(Y=j) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}

これは、同時確率分布表のすべてのセル（ $a,b,c$ ）の値が $\frac{1}{9}$ に等しいことを意味します。したがって、

a = \frac{1}{9}, \ b = \frac{1}{9}, \ c = \frac{1}{9}

この結果は、(1)で求めた関係式 $a+b+c = \frac{1}{3}$ を満たします。

\frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

よって、求める値は $a=b=c=\frac{1}{9}$ です。