名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2015年8月実施 微分方程

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思齐塾, 祭音Myyura

Description

次の微分方程式について考える。

$$(1+y^2)\frac{d^2y}{dx^2} = 2y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \qquad (1)$$

(a) まず、 $p = \frac{dy}{dx}$ とおいて、式 (1) の微分方程式を解き、 $p$ を $y$ の多項式の形で表せ。 ここで、 $\frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy}p$ となることに留意せよ。

(b) 次に、(a)で得られた微分方程式において、 $y = \tan\theta$ とおくことで、式(1)の微分方程式の一般解を求めよ。

题目描述

考察微分方程

$$(1+y^2)\frac{d^2y}{dx^2} =2y\left(\frac{dy}{dx}\right)^2. \tag{1}$$

1. 先令 $p=\dfrac{dy}{dx}$，求解由式 (1) 得到的关于 $p$ 的微分方程，并将 $p$ 表示为 $y$ 的多项式形式。可使用

   $$\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\,p;$$

2. 再在第 1 问所得方程中令 $y=\tan\theta$，求式 (1) 的通解。

Kai

( a ) 微分方程

$$(1+y^2)\frac{d^2y}{dx^2}=2y\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$$

を考える．

$p=\dfrac{dy}{dx}$ とおくと，

$$\frac{d^2y}{dx^2} =\frac{dp}{dx} =\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx} =p\frac{dp}{dy}$$

となる．これを元の式に代入すると，

$$(1+y^2)p\frac{dp}{dy}=2yp^2$$

を得る． $p\neq0$ と仮定して両辺を $p$ で割ると，

$$(1+y^2)\frac{dp}{dy}=2yp$$

すなわち，

$$\frac{dp}{p}=\frac{2y}{1+y^2}\,dy$$

となる．

両辺を積分すると，

$$\int\frac{dp}{p}=\int\frac{2y}{1+y^2}\,dy$$

より，

$$\ln|p|=\ln(1+y^2)+C$$

を得る．ここで $C$ は積分定数である．よって，

$$|p|=e^C(1+y^2)$$

となり，定数 $B$ を用いて

$$p=B(1+y^2)$$

と書ける．

( b ) ( a ) の結果より，

$$\frac{dy}{dx}=B(1+y^2)$$

であるから，

$$\frac{dy}{1+y^2}=B\,dx$$

を得る．

ここで $y=\tan\theta$ とおくと，

$$dy=(1+y^2)\,d\theta$$

であるから，

$$\frac{dy}{1+y^2}=d\theta$$

となる．したがって，

$$d\theta=B\,dx$$

が成り立つ．

両辺を積分すると，

$$\theta=Bx+D$$

を得る．ここで $D$ は積分定数である． $y=\tan\theta$ に戻すと，

$$y=\tan(Bx+D)$$

が一般解である．