名古屋大学情報学研究科知能システム学専攻 2014年8月実施概率统计

标签：

Author

思齐塾, 祭音Myyura

ある町で収穫されたリンゴの重さの母平均 $\mu$ [g] を推定したい、但し、母標準偏差は 50 [g] であるとわかっている。また、標準正規分布を $f(x)$ としたとき、

\int_{-1.96}^{1.96} f(x) dx = 0.95

とする。これについて、以下の問いに答えよ。

(1) 無作為に抽出した 100 個の標本の重さの平均は 350 [g] であった。 $\mu$ の 95% の信頼区間を示せ。

(2) 95% の信頼区間の幅が 7 [g] 以下になるように $\mu$ を推定するには、何個以上の標本を抽出する必要があるか答えよ。

拟估计某城镇所产苹果重量的总体均值 $\mu$ （单位：g），已知总体标准差为 $50$ g。设 $f(x)$ 为标准正态分布的概率密度函数，并给定

\int_{-1.96}^{1.96}f(x)\,dx=0.95.

(1) 95%の信頼区間は、標本平均 $\bar{x}$ を用いて、

\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

で与えられる。ここで、 $\bar{x} = 350$ , $\sigma = 50$ , $n = 100$ , $z_{\alpha/2} = 1.96$ (95%信頼区間なので).

したがって、

350 \pm 1.96 \times \frac{50}{\sqrt{100}} = 350 \pm 1.96 \times 5 = 350 \pm 9.8

95%信頼区間は [340.2, 359.8] [g] である。

(2) 信頼区間の幅は

2 \times z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

で与えられる。これが 7 [g] 以下になるように $n$ を決定する。

2 \times 1.96 \times \frac{50}{\sqrt{n}} \leq 7

\sqrt{n} \geq \frac{2 \times 1.96 \times 50}{7} = \frac{196}{7} = 28

n \geq 28^2 = 784

したがって、784個以上の標本を抽出する必要がある。