名古屋大学情報学研究科知能システム学専攻 2014年8月実施概率统计

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思齐塾, 祭音Myyura

互いに独立な確率変数 $X, Y$ について, 以下の問いに答えよ.

(1) $X, Y$ の期待値と分散が, それぞれ $E(X) = 2, V(X) = 1, E(Y) = 5, V(Y) = 9$ で与えられるとき, 確率変数 $W = (X - 2Y)^2$ の期待値 $E(W)$ を求めよ.

(2) $X, Y$ がともに区間 $[1, 2]$ における連続一様分布に従うとき, 確率変数 $Z = \max\{X, Y\}$ の確率密度関数 $f_Z(z)$ を求めよ.

设随机变量 $X,Y$ 相互独立。

已知

$E(X)=2,\qquad V(X)=1,\qquad E(Y)=5,\qquad V(Y)=9,$

并定义 $W=(X-2Y)^2$ ，求 $E(W)$ ；
若 $X,Y$ 均服从区间 $[1,2]$ 上的连续均匀分布，定义

$Z=\max\{X,Y\},$

求 $Z$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$ 。

(1) 確率変数

W=(X-2Y)^2

の期待値を求める．まず，

W=X^2-4XY+4Y^2

であるから，

E(W)=E(X^2)-4E(XY)+4E(Y^2)

となる．

分散の定義

V(X)=E(X^2)-(E(X))^2

より，

E(X^2)=V(X)+(E(X))^2=1+2^2=5

である．同様に，

E(Y^2)=V(Y)+(E(Y))^2=9+5^2=34

を得る．

また， $X$ と $Y$ は独立であるから，

E(XY)=E(X)E(Y)=2\cdot5=10

である．以上を代入すると，

E(W)=5-4\cdot10+4\cdot34 =5-40+136 =101

となる．

したがって，

E(W)=101

である．

(2) 確率変数

Z=\max(X,Y)

の分布を求める． $F_Z(z)$ を $Z$ の分布関数とすると，

\begin{aligned} F_Z(z) &=P(Z\le z)\\ &=P(\max(X,Y)\le z)\\ &=P(X\le z,\ Y\le z) \end{aligned}

である． $X$ と $Y$ は独立であるから，

F_Z(z)=P(X\le z)P(Y\le z)

となる．

$X,Y$ はともに区間 $[1,2]$ 上の一様分布に従うので，

P(X\le z)=P(Y\le z)= \begin{cases} 0, & z<1,\\ z-1, & 1\le z\le 2,\\ 1, & z>2. \end{cases}

したがって，

F_Z(z)= \begin{cases} 0, & z<1,\\ (z-1)^2, & 1\le z\le 2,\\ 1, & z>2. \end{cases}

よって，確率密度関数 $f_Z(z)$ は

f_Z(z)=\frac{d}{dz}F_Z(z) = \begin{cases} 0, & z<1,\\ 2(z-1), & 1\le z\le 2,\\ 0, & z>2. \end{cases}

である．