名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2014年8月実施 概率统计

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思齐塾, 祭音Myyura

Description

じゃんけん(ルールは下記※を参照)で3人の順位(1～3位)を決めたい。但し、じゃんけんの各回の試行は独立で、3人とも3種類の手を等確率で出すものとする。これについて、以下の問いに答えよ。

(1) 1回目のじゃんけんで、3人があいことなる確率を求めよ。

(2) 2回目のじゃんけんで、3人の順位が全て決まる確率を求めよ。

(3) $n$ 回目のじゃんけんで、はじめて1位が決まる確率を求めよ。但し、 $n$ は正整数とする。

※ じゃんけんとは、複数の人が同時にグー・チョキ・パーの3種類の手のいずれかを出すことで、勝敗を決める手段である。グーはチョキに勝ち、チョキはパーに勝ち、パーはグーに勝つ。全員が同じ手を出した場合や、3人が異なる手を出した場合は、あいことする。まず、3人のじゃんけんで1人が勝った場合は、勝った人が1位となり、その後負けた2人でじゃんけんをして、その勝敗で2位と3位を決める。一方、3人のじゃんけんで1人が負けた場合は、負けた人が3位となり、その後勝った2人でじゃんけんをして、その勝敗で1位と2位を決める。また、あいことなった場合は、勝敗が決まるまで同じメンバーでじゃんけんを繰り返す。

题目描述

三名参加者用石头、剪刀、布决定第 $1$ 至第 $3$ 名。每轮中三人各自以相同概率独立选择三种手势之一，各轮试验也相互独立。胜负规则为：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头；三人手势全部相同或三种手势各不相同时记为平局。

排名流程如下：

• 三人对局中若恰有一人获胜，则该人为第 $1$ 名，随后由另外两人继续对局以决定第 $2$、第 $3$ 名；
• 三人对局中若恰有一人落败，则该人为第 $3$ 名，随后由另外两人继续对局以决定第 $1$、第 $2$ 名；
• 若出现平局，则仍由相同成员继续对局，直至分出胜负。

回答：

1. 求第一轮三人对局为平局的概率；
2. 求在第二轮对局时三个名次全部确定的概率；
3. 设 $n$ 为正整数，求直到第 $n$ 轮对局才首次确定第 $1$ 名的概率。

Kai

(1) 3人でじゃんけんを行うとき，「あいこ」となるのは， 全員が同じ手を出す場合，または全員が異なる手を出す場合である．

全員が同じ手を出す確率は，

$$\frac{3}{3^3}=\frac{1}{9}$$

であり，全員が異なる手を出す確率は，

$$\frac{3!}{3^3}=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$$

である．したがって，あいこになる確率は

$$\frac{1}{9}+\frac{2}{9}=\frac{1}{3}$$

である．

(2) 1回目にちょうど1人が勝つ確率と、ちょうど1人が負ける確率は、それぞれ

$$\frac{3\times3\times1}{3^3}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$$

である。どちらの場合も1つの順位が決まり、残った2人で2回目のじゃんけんを行う。

2人のじゃんけんがあいこにならずに勝敗が決まる確率は

$$1-\frac{3}{3^2}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$$

である。よって、2回目に全順位が決まる確率は

$$\left(\frac13+\frac13\right)\frac23 =\boxed{\frac49}.$$

である．

(3) $n$ 回目のじゃんけんで初めて1位が決まる確率を求める．

第1の経路は、3人で $n-1$ 回連続してあいこになり、 $n$ 回目に1人だけが勝つ場合であり、その確率は

$$\left(\frac13\right)^n$$

である。

第2の経路では、ある $k\in\{1,\ldots,n-1\}$ について、3人で $k-1$ 回あいこになり、 $k$ 回目に1人だけが負け、その後2人で $n-k-1$ 回あいこになって、 $n$ 回目に勝敗が決まる。固定した $k$ に対する確率は

$$\left(\frac13\right)^{k-1} \cdot\frac13 \cdot\left(\frac13\right)^{n-k-1} \cdot\frac23 =\frac{2}{3^n}.$$

この $k$ は $n-1$ 通りある。したがって、

$$\boxed{ P(\text{} n \text{ 回目に初めて1位が決まる}) =\frac{1+2(n-1)}{3^n} =\frac{2n-1}{3^n} }.$$