名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2014年8月実施 复变函数

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

次の条件を満たす複素数 $z = x + iy$ について、以下の問いに答えよ。ただし、 $R$ は実数の集合、 $i$ は虚数単位を表す。

$$z + \frac{1}{z} \in R$$

(a) $z + \frac{1}{z} = u + iv$ とおくとき、 $u, v$ を $x, y$ を用いて表せ。

(b) $z$ が複素平面上でえがく図形を求め、その概形を図示せよ。

(c) $|z - 1| \leq 2$ であるとき、 $|z - 2 + i|$ の最大値および最小値を求めよ。

题目描述

设复数 $z=x+iy$ 满足

$$z+\frac1z\in\mathbb R,$$

其中 $\mathbb R$ 为实数集，$i$ 为虚数单位；该条件同时意味着 $z\ne0$。

1. 令

   $$z+\frac1z=u+iv,$$

   用 $x,y$ 表示 $u,v$；

2. 求所有满足上述实数条件的 $z$ 在复平面上构成的图形，并画出其大致形状；

3. 在上述条件之外再要求 $|z-1|\le2$，求 $|z-2+i|$ 的最大值与最小值。

Kai

(a) $z + \frac{1}{z} = x + iy + \frac{1}{x + iy} = x + iy + \frac{x - iy}{x^2 + y^2} = x + \frac{x}{x^2 + y^2} + i(y - \frac{y}{x^2 + y^2})$

$u = x + \frac{x}{x^2 + y^2}, v = y - \frac{y}{x^2 + y^2}$

(b) $z + \frac{1}{z} \in R$ より、 $v = y - \frac{y}{x^2 + y^2} = 0$

$y(1 - \frac{1}{x^2 + y^2}) = 0$

$y = 0$ または $x^2 + y^2 = 1$

$y = 0$ は実軸を表す、 $x^2 + y^2 = 1$ は原点中心半径1の円を表す。 ただし， $z=0$ を除外する条件より、 $x=0, y=0$ は除く。

(c) $|z - 1| \leq 2$ は中心 $1$ 、半径 $2$ の円の内部を表す。 $|z - 2 + i|$ は $z$ と $2 - i$ の距離を表す。

$z = x + iy$ , $|x + iy - 1| \leq 2$ より $(x - 1)^2 + y^2 \leq 4$

$|z - 2 + i| = |x + iy - 2 + i| = |(x - 2) + i(y + 1)| = \sqrt{(x - 2)^2 + (y + 1)^2}$

中心 $(1, 0)$ 、半径 $2$ の閉円板内の点と点 $(2, -1)$ との距離を考える。

点 $(2, -1)$ と円の中心 $(1, 0)$ の距離は $\sqrt{(2 - 1)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{2}$ である。

最大値は中心から点 $(2,-1)$ と反対方向の円周上で $\sqrt{2}+2$ となる。一方、 $\sqrt{2}<2$ なので点 $z=2-i$ 自身が閉円板内にあり、このとき $|z-2+i|=0$ である。

よって、最大値は $2+\sqrt{2}$ 、最小値は $0$ である。