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名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2014年8月実施 微积分

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

次の極座標の方程式で表される曲線について、以下の問いに答えよ。

r=1+cos⁡θ(0≤θ≤2π)r = 1 + \cos \theta \quad (0 \leq \theta \leq 2\pi)

(a) 曲線の概形を図示せよ。 (b) 曲線の長さを求めよ。

题目描述​

极坐标曲线由

r=1+cos⁡θ,0≤θ≤2πr=1+\cos\theta,\qquad0\le\theta\le2\pi

给出。

  1. 画出该曲线的大致形状；
  2. 求该曲线的长度。

Kai​

( a ) 極方程式

r=1+cos⁡θr=1+\cos\theta

で表される曲線はカージオイド（心臓形曲線）である．

( b ) 極方程式 r=f(θ)r=f(\theta) により表される曲線の弧長は，

L=∫abr2+(drdθ)2 dθL=\int_a^b \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta

で与えられる．

ここでは

r=1+cos⁡θ,drdθ=−sin⁡θr=1+\cos\theta,\qquad \frac{dr}{d\theta}=-\sin\theta

であるから，

L=∫02π(1+cos⁡θ)2+sin⁡2θ dθ=∫02π1+2cos⁡θ+cos⁡2θ+sin⁡2θ dθ=∫02π2+2cos⁡θ dθ\begin{aligned} L &=\int_0^{2\pi} \sqrt{(1+\cos\theta)^2+\sin^2\theta}\,d\theta \\ &=\int_0^{2\pi} \sqrt{1+2\cos\theta+\cos^2\theta+\sin^2\theta}\,d\theta \\ &=\int_0^{2\pi} \sqrt{2+2\cos\theta}\,d\theta \end{aligned}

ここで，

2+2cos⁡θ=4cos⁡2θ22+2\cos\theta=4\cos^2\frac{\theta}{2}

より，

L=∫02π2∣cos⁡θ2∣ dθ=2∫02π∣cos⁡θ2∣ dθL=\int_0^{2\pi}2\left|\cos\frac{\theta}{2}\right|\,d\theta =2\int_0^{2\pi}\left|\cos\frac{\theta}{2}\right|\,d\theta

となる．

cos⁡θ2\cos\frac{\theta}{2} は [0,π][0,\pi] で正， [π,2π][\pi,2\pi] で負であるから，

L=2(∫0πcos⁡θ2 dθ−∫π2πcos⁡θ2 dθ)=2(2sin⁡θ2∣0π−2sin⁡θ2∣π2π)=4(sin⁡π2−sin⁡0−sin⁡π+sin⁡π2)=4(1+1)=8\begin{aligned} L &=2\left( \int_0^{\pi}\cos\frac{\theta}{2}\,d\theta -\int_{\pi}^{2\pi}\cos\frac{\theta}{2}\,d\theta \right) \\ &=2\left( 2\sin\frac{\theta}{2}\Big|_0^{\pi} -2\sin\frac{\theta}{2}\Big|_{\pi}^{2\pi} \right) \\ &=4\left( \sin\frac{\pi}{2}-\sin0-\sin\pi+\sin\frac{\pi}{2} \right) \\ &=4(1+1)=8 \end{aligned}

したがって，この曲線の長さは

88

である．

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