名古屋大学情報学研究科知能システム学専攻 2013年8月実施概率统计

标签：

Author

思齐塾, 祭音Myyura

袋に赤玉2つと白玉5つの計7つの玉が入っている。袋から無作為に玉を1つずつ取り出す試行を、袋が空になるまで繰り返す。一度取り出した玉は袋に戻さない。2つ目の赤玉が出るときの試行回数を $X$ ( $2 \leq X \leq 7$ ) とする。以下の問いに答えよ。但し、答えは既約分数で示せ。

(1) 確率 $P(X = 3)$ を求めよ。

(2) 確率 $P(X \leq 4)$ を求めよ。

(3) 期待値 $E[X]$ を求めよ。

袋中装有 $2$ 个红球和 $5$ 个白球，共 $7$ 个球。每次从袋中随机取出一个球，取出后不放回，重复试验直至袋空。令 $X$ 表示第二个红球被取出时的试验次数，因此 $2\le X\le7$ 。下列答案均写成最简分数。

2個の赤玉が現れる位置の組は、 $\binom72=21$ 通りの中で等確率である。 $X=k$ となるには、2個目の赤玉が位置 $k$ にあり、1個目が位置 $1,\ldots,k-1$ のいずれかにあればよい。したがって、

P(X=k)=\frac{k-1}{\binom72}=\frac{k-1}{21} \qquad(k=2,\ldots,7).

(1)

\boxed{P(X=3)=\frac2{21}}.

(2)

P(X\leq4) =\frac{\binom42}{\binom72} =\frac6{21} =\boxed{\frac27}.

(3)

\begin{aligned} E[X] &=\sum_{k=2}^7k\frac{k-1}{21}\\ &=\frac{2+6+12+20+30+42}{21}\\ &=\boxed{\frac{16}{3}}. \end{aligned}