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名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2013年8月実施 线性代数

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

次の行列 AA について、以下の問いに答えよ。ただし、 nn は正の整数を表す。

A=(3−216)A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}

(a) AA のすべての固有値を求めよ。また、それに対応する固有ベクトルを求めよ。

(b) AnA^n を求めよ。

(c) 数列 {xn},{yn}\{x_n\}, \{y_n\} が漸化式

xn+1=3xn−2yn,yn+1=xn+6yn,x1=1,y1=1x_{n+1} = 3x_n - 2y_n, \quad y_{n+1} = x_n + 6y_n, \quad x_1 = 1, y_1 = 1

で与えられているとき、 {xn},{yn}\{x_n\}, \{y_n\} の一般項を求めよ。

题目描述​

对矩阵

A=(3−216)A=\begin{pmatrix}3&-2\\1&6\end{pmatrix}

回答下列问题，其中 nn 为正整数。

  1. 求 AA 的全部特征值及各自对应的特征向量；

  2. 求 AnA^n；

  3. 数列 {xn},{yn}\{x_n\},\{y_n\} 满足

    xn+1=3xn−2yn,yn+1=xn+6yn,x1=1,y1=1.x_{n+1}=3x_n-2y_n,\qquad y_{n+1}=x_n+6y_n,\qquad x_1=1,\quad y_1=1.

    求 {xn}\{x_n\} 与 {yn}\{y_n\} 的通项公式。

Kai​

(a) 求解 AA 的特征值和特征向量。

首先，求解特征方程 det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0 来得到特征值 λ\lambda 。

det⁡(A−λI)=det⁡(3−λ−216−λ)=(3−λ)(6−λ)−(−2)(1)=0\det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 3-\lambda & -2 \\ 1 & 6-\lambda \end{pmatrix} = (3-\lambda)(6-\lambda) - (-2)(1) = 0

展开并整理方程：

λ2−9λ+18+2=0\lambda^2 - 9\lambda + 18 + 2 = 0
λ2−9λ+20=0\lambda^2 - 9\lambda + 20 = 0
(λ−4)(λ−5)=0(\lambda - 4)(\lambda - 5) = 0

因此，矩阵 AA 的特征值为 λ1=4\lambda_1 = 4 和 λ2=5\lambda_2 = 5 。

接下来，为每个特征值求解对应的特征向量。

对于特征值 λ1=4\lambda_1 = 4 ： 我们求解方程 (A−4I)v=0(A - 4I)\mathbf{v} = \mathbf{0} ，其中 v=(xy)\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} 。

(3−4−216−4)(xy)=(−1−212)(xy)=(00)\begin{pmatrix} 3-4 & -2 \\ 1 & 6-4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}

这等价于方程组 −x−2y=0-x - 2y = 0 ，即 x=−2yx = -2y 。 因此，对应于 λ1=4\lambda_1=4 的特征向量为 c1(−21)c_1 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} ，其中 c1c_1 是任意非零常数。我们可以取一个代表向量 v1=(−21)\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} 。

对于特征值 λ2=5\lambda_2 = 5 ： 我们求解方程 (A−5I)v=0(A - 5I)\mathbf{v} = \mathbf{0} 。

(3−5−216−5)(xy)=(−2−211)(xy)=(00)\begin{pmatrix} 3-5 & -2 \\ 1 & 6-5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}

这等价于方程组 x+y=0x + y = 0 ，即 x=−yx = -y 。 因此，对应于 λ2=5\lambda_2=5 的特征向量为 c2(−11)c_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} ，其中 c2c_2 是任意非零常数。我们可以取一个代表向量 v2=(−11)\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} 。

(b) 求解 AnA^n 。

我们可以通过对角化矩阵 AA 来计算 AnA^n 。我们有 A=PDP−1A = PDP^{-1} ，其中 DD 是特征值构成的对角矩阵， PP 是对应特征向量构成的矩阵。因此， An=PDnP−1A^n = PD^n P^{-1} 。 根据(a)的结果：

D=(4005),P=(v1v2)=(−2−111)D = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

首先计算 PP 的逆矩阵 P−1P^{-1} ：

det⁡(P)=(−2)(1)−(−1)(1)=−2+1=−1\det(P) = (-2)(1) - (-1)(1) = -2 + 1 = -1
P−1=1det⁡(P)(11−1−2)=1−1(11−1−2)=(−1−112)P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

现在，我们计算 AnA^n ：

An=PDnP−1=(−2−111)(4n005n)(−1−112)=(−2⋅4n−5n4n5n)(−1−112)=((−2⋅4n)(−1)+(−5n)(1)(−2⋅4n)(−1)+(−5n)(2)(4n)(−1)+(5n)(1)(4n)(−1)+(5n)(2))=(2⋅4n−5n2⋅4n−2⋅5n−4n+5n−4n+2⋅5n)\begin{aligned} A^n &= PD^n P^{-1} \\ &= \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4^n & 0 \\ 0 & 5^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -2 \cdot 4^n & -5^n \\ 4^n & 5^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (-2 \cdot 4^n)(-1) + (-5^n)(1) & (-2 \cdot 4^n)(-1) + (-5^n)(2) \\ (4^n)(-1) + (5^n)(1) & (4^n)(-1) + (5^n)(2) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 \cdot 4^n - 5^n & 2 \cdot 4^n - 2 \cdot 5^n \\ -4^n + 5^n & -4^n + 2 \cdot 5^n \end{pmatrix} \end{aligned}

(c) 求解数列 {xn},{yn}\{x_n\}, \{y_n\} 的一般项。

给定的递推关系可以写成矩阵形式：

(xn+1yn+1)=(3−216)(xnyn)\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}

令 un=(xnyn)\mathbf{u}_n = \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} ，则有 un+1=Aun\mathbf{u}_{n+1} = A \mathbf{u}_n 。这是一个向量形式的几何级数，其通项公式为 un=An−1u1\mathbf{u}_n = A^{n-1} \mathbf{u}_1 。 初始条件为 u1=(x1y1)=(11)\mathbf{u}_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} 。 我们使用(b)中求得的 AnA^n 的表达式，将 nn 替换为 n−1n-1 ：

An−1=(2⋅4n−1−5n−12⋅4n−1−2⋅5n−1−4n−1+5n−1−4n−1+2⋅5n−1)A^{n-1} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 4^{n-1} - 5^{n-1} & 2 \cdot 4^{n-1} - 2 \cdot 5^{n-1} \\ -4^{n-1} + 5^{n-1} & -4^{n-1} + 2 \cdot 5^{n-1} \end{pmatrix}

现在计算 un\mathbf{u}_n ：

(xnyn)=An−1u1=(2⋅4n−1−5n−12⋅4n−1−2⋅5n−1−4n−1+5n−1−4n−1+2⋅5n−1)(11)=((2⋅4n−1−5n−1)+(2⋅4n−1−2⋅5n−1)(−4n−1+5n−1)+(−4n−1+2⋅5n−1))=(4⋅4n−1−3⋅5n−1−2⋅4n−1+3⋅5n−1)=(4n−3⋅5n−1−2⋅4n−1+3⋅5n−1)\begin{aligned} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} &= A^{n-1} \mathbf{u}_1 \\ &= \begin{pmatrix} 2 \cdot 4^{n-1} - 5^{n-1} & 2 \cdot 4^{n-1} - 2 \cdot 5^{n-1} \\ -4^{n-1} + 5^{n-1} & -4^{n-1} + 2 \cdot 5^{n-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (2 \cdot 4^{n-1} - 5^{n-1}) + (2 \cdot 4^{n-1} - 2 \cdot 5^{n-1}) \\ (-4^{n-1} + 5^{n-1}) + (-4^{n-1} + 2 \cdot 5^{n-1}) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 4 \cdot 4^{n-1} - 3 \cdot 5^{n-1} \\ -2 \cdot 4^{n-1} + 3 \cdot 5^{n-1} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 4^n - 3 \cdot 5^{n-1} \\ -2 \cdot 4^{n-1} + 3 \cdot 5^{n-1} \end{pmatrix} \end{aligned}

因此，数列的一般项为：

xn=4n−3⋅5n−1x_n = 4^n - 3 \cdot 5^{n-1}
yn=−2⋅4n−1+3⋅5n−1y_n = -2 \cdot 4^{n-1} + 3 \cdot 5^{n-1}
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