名古屋大学 情報学研究科 知能システム学専攻 2013年8月実施 微积分

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

$xy$ 平面上の曲線 $y = a^2 - x^2$ と $x$ 軸とで囲まれる部分 $D$ 、及び、 $D$ を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体 $T$ について、以下の問いに答えよ。ただし、 $a > 0$ とする。

(a) $T$ の体積を $a$ を使って記せ。

(b) $D$ を $y$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積が $T$ の体積に等しくなるとき、 $a$ の値を求めよ。

题目描述

在 $xy$ 平面上，曲线

$$y=a^2-x^2$$

与 $x$ 轴围成区域 $D$，其中 $a>0$。将 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所得的立体记为 $T$。

1. 用 $a$ 表示立体 $T$ 的体积；
2. 再将 $D$ 绕 $y$ 轴旋转。当所得立体的体积与 $T$ 的体积相等时，求 $a$。

Kai

解答

まず、領域 $D$ を定義する曲線と軸を確認する。 曲線は $y = a^2 - x^2$ で、これは頂点が $(0, a^2)$ で上に凸の放物線である。 $x$ 軸は $y=0$ の直線である。 曲線と $x$ 軸との交点は、 $a^2 - x^2 = 0$ を解くことで得られる。 $x^2 = a^2$ より、 $x = \pm a$ となる。 したがって、領域 $D$ は区間 $[-a, a]$ で $y = a^2 - x^2$ と $x$ 軸によって囲まれた部分である。

(a) $T$ の体積

立体 $T$ は、領域 $D$ を $x$ 軸のまわりに回転させてできる回転体である。その体積 $V_T$ はディスク法を用いて計算できる。 体積の公式は $V = \int_{x_1}^{x_2} \pi [f(x)]^2 dx$ である。

$$V_T = \int_{-a}^{a} \pi y^2 dx = \int_{-a}^{a} \pi (a^2 - x^2)^2 dx$$

被積分関数 $(a^2 - x^2)^2$ は $x$ の偶関数であり、積分区間は原点に対して対称なので、計算を簡略化できる。

$$V_T = 2\pi \int_{0}^{a} (a^2 - x^2)^2 dx = 2\pi \int_{0}^{a} (a^4 - 2a^2x^2 + x^4) dx$$

積分を計算する。

$$V_T = 2\pi \left[ a^4x - \frac{2a^2}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 \right]_0^a$$

$$V_T = 2\pi \left( (a^4 \cdot a - \frac{2a^2}{3}a^3 + \frac{1}{5}a^5) - 0 \right)$$

$$V_T = 2\pi \left( a^5 - \frac{2}{3}a^5 + \frac{1}{5}a^5 \right)$$

通分して計算する。

$$V_T = 2\pi \left( \frac{15a^5 - 10a^5 + 3a^5}{15} \right) = 2\pi \left( \frac{8a^5}{15} \right)$$

$$V_T = \frac{16}{15}\pi a^5$$

したがって、 $T$ の体積は $\frac{16}{15}\pi a^5$ である。

(b) $a$ の値

次に、領域 $D$ を $y$ 軸のまわりに回転させてできる立体の体積 $V_y$ を求める。 この計算には、積分軸を $y$ 軸とする円盤法（ワッシャー法）が便利である。 まず、 $x$ を $y$ の式で表す。 $y = a^2 - x^2$ より $x^2 = a^2 - y$ である。 領域 $D$ の $y$ の範囲は $0 \leq y \leq a^2$ である。

体積の公式は $V = \int_{y_1}^{y_2} \pi [g(y)]^2 dy$ である。ここで半径は $x$ なので、 $g(y)^2 = x^2 = a^2 - y$ となる。

$$V_y = \int_{0}^{a^2} \pi x^2 dy = \int_{0}^{a^2} \pi (a^2 - y) dy$$

積分を計算する。

$$V_y = \pi \left[ a^2y - \frac{1}{2}y^2 \right]_0^{a^2}$$

$$V_y = \pi \left( (a^2 \cdot a^2 - \frac{1}{2}(a^2)^2) - 0 \right)$$

$$V_y = \pi \left( a^4 - \frac{1}{2}a^4 \right) = \frac{1}{2}\pi a^4$$

問題の条件より、 $V_y$ と $V_T$ の体積は等しいので、 $V_y = V_T$ である。

$$\frac{1}{2}\pi a^4 = \frac{16}{15}\pi a^5$$

$a > 0$ であるから、両辺を $\pi a^4$ (これは0ではない) で割ることができる。

$$\frac{1}{2} = \frac{16}{15}a$$

これを $a$ について解くと、

$$a = \frac{1}{2} \times \frac{15}{16} = \frac{15}{32}$$

よって、求める $a$ の値は $\frac{15}{32}$ である。