名古屋大学 工学研究科 電気電子情報工学科 2024年8月実施 基礎2

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祭音Myyura

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以下の 次の正方行列 について、以下の問いに答えよ。

ただし、この行列 の実数の固有値を （ただし、）とし、問題中に現れるベクトル はすべての要素が実数の列ベクトルとする。また、 はベクトル のユークリッドノルマ（ノルム）を表すとする。

(1) 行列 の固有値 をすべて求めよ。

(2) 行列 の固有値 に対応する固有ベクトル を、実数のパラメータ を用い形で導出せよ。

(3) 行列 の固有値 に対応する固有ベクトル を、実数のパラメータ を用い形で導出せよ。

(4) (3) で求めた固有ベクトル のうち、すべての要素が非負の整数となる、ある固有ベクトル （ただし）を考える。このとき、

を満たす、かつ となる をすべて導出せよ。

上記の正方行列 について、行列 の 行 列の要素を , すなわち となる。以下の問いに答えよ。

(5) 行列 の要素 の一般形を、ジョルダン標準形の 次の正方行列 を用いて導出せよ。（※ヒント　※ヒント参照）

(6) 行列 の要素 を求めよ。

• ※ヒント : (2)~(4) の解を用いて、各要素が整数となるような を定義すれば、 の関係からジョルダン標準形の 次正方行列 が得られる。

• ※ヒント : が成り立つことに着目せよ。

Kai

(1)

従って、

(2)

のとき、

従って、

(3)

のとき、

従って、

(4)

を実数 とすると、

が得られて、 より、

(5)

(4) より、 とすると、

ジョルダン標準形を考えると、

より、

(6)