名古屋大学 工学研究科 電気系専攻 2024年8月実施 基礎2

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• 名古屋大学
• 特征值与特征向量
• 若尔当标准形
• 矩阵幂

Author

祭音Myyura

Description

出典：名古屋大学・令和7年度電気系専攻入試問題、基礎。

以下の $3$ 次の正方行列 $\boldsymbol{A}$ について、以下の問いに答えよ。

$$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ -1 & -1 & 3 \\ \end{bmatrix}$$

ただし、この行列 $\boldsymbol{A}$ の実数の固有値を $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ （ただし、$\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \lambda_3$）とし、問題中に現れるベクトル $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\boldsymbol{v_3}$ はすべての要素が実数の列ベクトルとする。また、$||\boldsymbol{x}||_2$ はベクトル $\boldsymbol{x}$ のユークリッドノルム（$l^2$ノルム）を表すとする。

(1) 行列 $\boldsymbol{A}$ の固有値 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ をすべて求めよ。

(2) 行列 $\boldsymbol{A}$ の固有値 $\lambda_1$ に対応する固有ベクトル $\boldsymbol{v_1}$ を、実数のパラメータ $t$ を用いる形で導出せよ。

(3) 行列 $\boldsymbol{A}$ の固有値 $\lambda_2$ に対応する固有ベクトル $\boldsymbol{v_2}$ を、実数のパラメータ $t$ を用いる形で導出せよ。

(4) (3) で求めた固有ベクトル $\boldsymbol{v_2}$ のうち、すべての要素が非負の整数となる、ある固有ベクトル $\boldsymbol{v_2'}$ （ただし$||\boldsymbol{v_2'}||_2 \neq 0$）を考える。このとき、

$$\boldsymbol{Av_3} = \lambda_2\boldsymbol{v_3} + \boldsymbol{v_2'}$$

を満たす、かつ $||\boldsymbol{v_3}||_2 = 1$ となる $\boldsymbol{v_3}$ をすべて導出せよ。

上記の正方行列 $\boldsymbol{A}$ について、行列 $\boldsymbol{A}^n$ の $i$ 行 $j$ 列の要素を $_na_{ij}(i \in \{1,2,3\}),j\in\{1,2,3\}$, すなわち $\boldsymbol{A}^n = \begin{bmatrix} _na_{11} & _na_{12} & _na_{13} \\ _na_{21} & _na_{22} & _na_{23} \\ _na_{31} & _na_{32} & _na_{33} \\ \end{bmatrix}$ となる。以下の問いに答えよ。

(5) 行列 $\boldsymbol{A}^n$ の要素 $_na_{12}$ の一般形を、ジョルダン標準形の $3$ 次の正方行列 $\boldsymbol{J}$ を用いて導出せよ。（※ヒント$1$　※ヒント$2$参照）

(6) 行列 $\boldsymbol{A}^5$ の要素 $_5a_{12}$ を求めよ。

• ※ヒント $1$ : (2)~(4) の解を用いて、各要素が整数となるような $\boldsymbol{P} = \begin{bmatrix}\boldsymbol{v_1} & \boldsymbol{v_2'} & \boldsymbol{v_3}\end{bmatrix}$ を定義すれば、$\boldsymbol{AP} = \boldsymbol{PJ}$ の関係からジョルダン標準形の $3$ 次正方行列 $\boldsymbol{J}$ が得られる。

• ※ヒント $2$：

  $$\begin{pmatrix}\alpha&1\\0&\alpha\end{pmatrix}^{n} =\begin{pmatrix}\alpha^n&n\alpha^{n-1}\\0&\alpha^n\end{pmatrix}.$$

题目描述

给定

$$\boldsymbol A= \begin{bmatrix} 1&-3&1\\ 0&4&0\\ -1&-1&3 \end{bmatrix}.$$

其实特征值按 $\lambda_1\ge\lambda_2\ge\lambda_3$ 排列，所有向量均为实列向量，$\|\cdot\|_2$ 表示欧氏范数。

1. 求全部特征值。

2. 用实参数 $t$ 表示 $\lambda_1$ 的全部特征向量 $\boldsymbol v_1$。

3. 用实参数 $t$ 表示 $\lambda_2$ 的全部特征向量 $\boldsymbol v_2$。

4. 从第 3 问选取元素均为非负整数的非零特征向量 $\boldsymbol v_2'$，求全部满足

   $$\boldsymbol A\boldsymbol v_3 =\lambda_2\boldsymbol v_3+\boldsymbol v_2', \qquad\|\boldsymbol v_3\|_2=1$$

   的 $\boldsymbol v_3$。

5. 记 $\boldsymbol A^n$ 的第 $(1,2)$ 个元素为 ${}_na_{12}$。利用第 2—4 问构造整数元素矩阵 $P=[\boldsymbol v_1\ \boldsymbol v_2'\ \boldsymbol v_3]$ 及 Jordan 标准形 $J$，推导 ${}_na_{12}$ 的通式。

6. 求 ${}_5a_{12}$。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 - \lambda & -3 & 1 \\ 0 & 4 - \lambda & 0 \\ -1 & -1 & 3 - \lambda \\ \end{vmatrix} &= (1 - \lambda)[(4 - \lambda)(3 - \lambda)] + (4 - \lambda) \\ &= (4 - \lambda)[(1 - \lambda)(3 - \lambda) + 1] \\ &= (4 - \lambda)[3 - 4\lambda + \lambda^2 + 1] \\ &= (4 - \lambda)(\lambda - 2)^2 = 0 \end{aligned}$$

従って、

$$\lambda_1 = 4,\lambda_2 = \lambda_3 = 2$$

(2)

$\lambda_1 = 4$ のとき、

$$\left \{ \begin{aligned} &-3x_1 - 3x_2 + x_3 = 0 \\ &0 + 0 + 0 = 0 \\ &-x_1 - x_2 - x_3 = 0 \\ \end{aligned} \Rightarrow x_1 = -x_2 \right.$$

従って、

$$t\in\mathbb{R}\setminus\{0\},\qquad \boldsymbol{v_1} =t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

(3)

$\lambda_2 = 2$ のとき、

$$\left \{ \begin{aligned} & -x_1 - 3x_2 + x_3 = 0 \\ & 0 + 2x_2 + 0 = 0 \\ & -x_1 - x_2 + x_3 = 0 \\ \end{aligned} \Rightarrow \right. \left \{ \begin{aligned} &x_2 = 0 \\ &x_1 = x_3 \\ \end{aligned} \right.$$

従って、

$$t\in\mathbb{R}\setminus\{0\},\qquad \boldsymbol{v_2} =t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

(4)

非負整数成分をもつ非零固有ベクトルは $\boldsymbol v_2'=k(1,0,1)^T$（$k$ は正の整数）である。条件式から $x_2=0$、$x_3-x_1=k$ となる。$\|\boldsymbol v_3\|_2=1$ により

$$k=|x_3-x_1|\le\sqrt{2(x_1^2+x_3^2)}=\sqrt2,$$

なので、解が存在するのは $k=1$ の場合だけである。

$$\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ -1 & -1 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

$$\left \{ \begin{aligned} x_1 - 3x_2 + x_3 &= 2x_1 + 1 \\ 0 + 4x_2 + 0 & = 2x_2 + 0 \\ -x_1 - x_2 + 3x_3 &= 2x_3 + 1 \\ \end{aligned} \right. \Rightarrow \left \{ \begin{aligned} &x_2 = 0 \\ &x_1 - x_3 = -1 \\ \end{aligned} \right.$$

$\boldsymbol v_2'=(1,0,1)^T$ とした。$x_3=t$ とおくと、

$$\boldsymbol{v_3} = \begin{pmatrix} t - 1 \\ 0 \\ t \end{pmatrix}$$

$\|\boldsymbol v_3\|_2=1$ より $2t^2-2t+1=1$、すなわち $t=0,1$。したがって、

$$\boxed{\boldsymbol v_3=(-1,0,0)^T,\ (0,0,1)^T}.$$

(5)

(4) より、$t = 0$ とすると、

$$\boldsymbol{v_3} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

第1列に $\boldsymbol v_1=(-1,1,0)^T$ を選ぶと、

$$P=\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix},\qquad J=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix}$$

$$P^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ \end{pmatrix}$$

$A=PJP^{-1}$ であり、$n\geq1$ に対して

$$J^n= \begin{pmatrix} 4^n&0&0\\ 0&2^n&n2^{n-1}\\ 0&0&2^n \end{pmatrix}$$

である。$A^n=PJ^nP^{-1}$ の $(1,2)$ 成分より、

$$\boxed{{}_na_{12}=-4^n-n2^{n-1}+2^n}.$$

(6)

$$\begin{aligned} \boldsymbol{A}^5 = \boldsymbol{P}\boldsymbol{J}^5\boldsymbol{P}^{-1} &= \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4^5 & 0 & 0 \\ 0 & 2^5 & 5 \cdot 2^4 \\ 0 & 0 & 2^5 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -4^5 & 2^5 & 5 \cdot 2^4 - 2^5 \\ 4^5 & 0 & 0 \\ 0 & 2^5 & 5 \cdot 2^4 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ \end{aligned}$$

$$_5a_{12} = -4^5 - 5 \cdot 2^4 + 2^5 = -1072$$