名古屋大学 工学研究科 電気系専攻 2024年8月実施 基礎1

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• 定积分
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• 极坐标

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祭音Myyura

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出典：名古屋大学・令和7年度電気系専攻入試問題、基礎。

(1) 次の関数の導関数を求めよ。

$$y = \arcsin(2x\sqrt{1 - x^2}) \quad (0 < x^2 <1)$$

• ヒント: $x$ について場合分けせよ。

(2) 次の不等式を示せ。

$$1 + x \leq e^{x} \leq \frac{1}{1 - x} \quad (x < 1)$$

(3) 次の定積分を求めよ。ただし、収束 $\cdot$ 発散の評価は不要である。

$$\int_0^4\frac{dx}{\sqrt{|x(x - 2)|}}$$

• ヒント: $\int\frac{dx}{\sqrt{x^2 + A}} = \log|x + \sqrt{x^2 + A}| + C$ を使ってもよい。ただし、$A$ は $0$ でない定数、$C$ は積分定数である。
• ヒント: $\int\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x + C$ を使ってもよい。ただし、$C$ は積分定数である。

(4) 以下の式の極限が存在する場合はその値を求めよ。存在しない場合は、存在しないことを示せ (ヒント：極座標変換を用いるとよい)。

$$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} 2xy\log(x^2 + y^2)$$

题目描述

1. 在 $0<x^2<1$ 下，分 $x$ 的取值情况求

   $$y=\arcsin\!\left(2x\sqrt{1-x^2}\right)$$

   的导数。

2. 证明对 $x<1$，

   $$1+x\le e^x\le\frac1{1-x}.$$

3. 计算

   $$\int_0^4\frac{dx}{\sqrt{|x(x-2)|}},$$

   无需判断收敛或发散；可使用题面给出的反双曲型对数积分和反正弦积分公式。

4. 判断二元极限

   $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}2xy\log(x^2+y^2)$$

   是否存在；若存在求其值，否则证明不存在。可使用极坐标。

Kai

(1)

$u = 2x\sqrt{1 - x^2}$ とすると、

$$\begin{aligned} \frac{du}{dx} &=2\sqrt{1-x^2}+2x\left(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)\\ &=\frac{2(1-x^2)-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}\\ &=\frac{2(1-2x^2)}{\sqrt{1-x^2}}. \end{aligned}$$

$\frac{d}{du}\sin^{-1}u=\frac1{\sqrt{1-u^2}}$ および $\sqrt{1-u^2}=|1-2x^2|$ より、

$$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\frac{du}{dx}\\ &=\frac{2(1-2x^2)}{|1-2x^2|\sqrt{1-x^2}}. \end{aligned}$$

(i) $2x^2-1>0$、すなわち $1/\sqrt2<|x|<1$ のとき、

$$y'=-\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}.$$

(ii) $2x^2-1=0$、すなわち $x=\pm1/\sqrt2$ では、左右の微分係数が異なるため微分不可能である。

(iii) $2x^2-1<0$、すなわち $0<|x|<1/\sqrt2$ のとき、

$$y'=\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}.$$

(2)

$f(x) = e^{x} - (1 + x)$ とすると、$f'(x) = e^{x} - 1$

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$
$f'$	$-$	$0$	$+$
$f$	$\searrow$		$\nearrow$

$f(0) = 0$ と増減表により、

$$\begin{aligned} e^{x} \geq 1 + x \end{aligned}$$

$h(x)=-\log(1-x)-x$ とおく。$x<1$ において

$$h'(x)=\frac{x}{1-x},\qquad h(0)=0$$

より $h(x)\geq0$。したがって $e^x\leq1/(1-x)$ である。

従って、

$$1 + x \leq e^{x} \leq \frac{1}{1 - x}$$

(3)

$$\begin{align} &\int_{\alpha}^{\beta}\frac{dx}{\sqrt{-x(x-2)}} +\int_{\gamma}^{4}\frac{dx}{\sqrt{x(x-2)}}\notag\\ =&\int_{\alpha}^{\beta}\frac{dx}{\sqrt{1-(x-1)^2}} +\int_{\gamma}^{4}\frac{dx}{\sqrt{(x-1)^2-1}}\notag\\ =&\left[\sin^{-1}(x-1)\right]_{\alpha}^{\beta} +\left[\log\left|x-1+\sqrt{(x-1)^2-1}\right|\right]_{\gamma}^{4}\notag\\ =&\sin^{-1}(\beta-1)-\sin^{-1}(\alpha-1) +\log(3+2\sqrt2)\\ &\quad-\log\left|\gamma-1+\sqrt{(\gamma-1)^2-1}\right|.\tag{*} \end{align}$$

$\alpha\to0+,\ \beta\to2-,\ \gamma\to2+$ とすると、

$$\begin{aligned} (*) &=\sin^{-1}(1)-\sin^{-1}(-1)+\log(3+2\sqrt2)\\ &=\pi+\log(3+2\sqrt2). \end{aligned}$$

したがって、求める値は $\boxed{\pi+\log(3+2\sqrt2)}$ である。

(4)

$x=r\cos\theta、y=r\sin\theta$ とする。$(x,y)\to(0,0)$ のとき $r\to0+$ であり、$\theta$ は任意である。

$$\begin{aligned} 2xy\log(x^2+y^2) &=2r^2\sin\theta\cos\theta\log r^2\\ &=2r^2\sin2\theta\log r. \end{aligned}$$

$|\sin2\theta|\le1$ より、

$$0\le\left|2r^2\sin2\theta\log r\right|\le2r^2|\log r|.$$

また、$0<r<1$ においてロピタルの定理を用いると、

$$\begin{aligned} \lim_{r\to0+}2r^2|\log r| &=\lim_{r\to0+}\frac{-2\log r}{1/r^2}\\ &=\lim_{r\to0+}\frac{-2/r}{-2/r^3}\\ &=\lim_{r\to0+}r^2=0. \end{aligned}$$

したがって、はさみうちの原理より

$$\boxed{\lim_{(x,y)\to(0,0)}2xy\log(x^2+y^2)=0}.$$