名古屋大学 工学研究科 電気電子情報工学科 2023年8月実施 基礎3

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Author

鳕鱼bot, 祭音Myyura

Description

(1) 次の常微分方程式の一般解を求めよ。

$$\frac{dy}{dx} = 1 + 4y^2$$

(2) 次の常微分方程式の一般解を求めよ。

$$\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 5y = 65 \cos 2x$$

(3) 次の常微分方程式について以下の問いに答えよ。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{ay-4x+1}{y+2x+3}$$

• 1) 上の常微分方程式が完全微分形であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。
• 2) 設問 1) で得られた完全微分方程式の一般解を求めよ。

(4) 次の常微分方程式の一般解が示す曲線群と直交する曲線群を求めよ。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy}$$

题目描述

1. 求可分离变量方程

   $$\frac{dy}{dx}=1+4y^2$$

   的通解。

2. 求二阶非齐次方程

   $$y''+4y'+5y=65\cos2x$$

   的通解。

3. 对

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{ay-4x+1}{y+2x+3},$$

   求使其成为恰当微分方程的常数 $a$，并求此时的通解。

4. 求与方程

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{y^2-x^2}{2xy}$$

   的通解曲线族正交的曲线族。

Kai

(1)

$$\frac{dy}{dx} = 1+4y^2$$

$$\frac{dy}{1+4y^2} = dx$$

$$\int \frac{dy}{1+4y^2} = \frac{1}{2} \tan^{-1}(2y)$$

$$\frac{1}{2} \tan^{-1}(2y) = x + C_1$$

$$y = \frac{1}{2} \tan(2x + C)$$

(2)

特性方程式の根は $-2\pm i$ である。また、$y_p=A\cos2x+B\sin2x$ とおくと

$$A+8B=65,\qquad B-8A=0$$

より $A=1,\ B=8$。したがって、

$$y=e^{-2x}(C_1\cos x+C_2\sin x)+\cos2x+8\sin2x$$

(3)

1)

$$a = -2$$

2)

$a=-2$ のとき、

$$(4x+2y-1)\,dx+(y+2x+3)\,dy=0$$

であるから、一般解は

$$2x^2+2xy-x+\frac12y^2+3y=C$$

(4)

直交曲線の傾きは

$$\frac{dy}{dx}=\frac{2xy}{x^2-y^2}$$

である。$y=vx$ とおくと

$$\frac{1-v^2}{v(1+v^2)}\,dv=\frac{dx}{x}$$

より、

$$\log\left|\frac{v}{1+v^2}\right|=\log|x|+C,\qquad \boxed{\frac{y}{x^2+y^2}=C}.$$