名古屋大学 工学研究科 電気電子情報工学科 2023年8月実施 基礎3

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Author

鳕鱼bot, 祭音Myyura

Description

(1) 次の常微分方程式の一般解を求めよ。

$$\frac{dy}{dx} = 1 + 4y^2$$

(2) 次の常微分方程式の一般解を求めよ。

$$\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 5y = 65 \cos 2x$$

(3) 次の常微分方程式について以下の問いに答えよ。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{ay-4x+1}{y+2x+3}$$

• 1) 上の常微分方程式が完全微分形であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。
• 2) 設問 1) で得られた完全微分方程式の一般解を求めよ。

(4) 次の常微分方程式の一般解が示す曲線群と直交する曲線群を求めよ。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy}$$

题目描述

1. 求可分离变量方程
   $$\frac{dy}{dx}=1+4y^2$$
   的通解。
2. 求二阶非齐次方程
   $$y''+4y'+5y=65\cos2x$$
   的通解。
3. 对
   $$\frac{dy}{dx}=\frac{ay-4x+1}{y+2x+3},$$
   求使其成为恰当微分方程的常数 $a$，并求此时的通解。
4. 求与方程
   $$\frac{dy}{dx}=\frac{y^2-x^2}{2xy}$$
   的通解曲线族正交的曲线族。

考点

• 可分离变量方程：分离 $y$ 并积分含 $1+4y^2$ 的有理式。
• 二阶常系数线性方程：求齐次解，并用待定系数法处理余弦强迫。
• 恰当微分方程：把方程改写为微分形式，通过交叉偏导相等确定参数并求势函数。
• 正交轨线：将原曲线斜率替换为负倒数，求所得一阶方程的曲线族。

Kai

(1)

$$\frac{dy}{dx} = 1+4y^2$$

$$\frac{dy}{1+4y^2} = dx$$

$$\int \frac{dy}{1+4y^2} = \frac{1}{2} \tan^{-1}(2y)$$

$$\frac{1}{2} \tan^{-1}(2y) = x + C_1$$

$$y = \frac{1}{2} \tan(2x + C)$$

(2)

(3)

1)

$$a = -2$$

2)

(4)