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名古屋大学 工学研究科 電気系専攻 2023年8月実施 基礎2

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Author​

鳕鱼bot, 祭音Myyura

Description​

(1) 行列 A=(−211−2)A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} について、以下の問いに答えよ。

  • 1) 行列 AA の固有値をもとめよ。
  • 2) 設問 1) で求めた固有値に対応する固有ベクトルを求めよ。
  • 3) 変換行列として直交行列 UU を用いて行列 AA を対角化し、AnA^n (nn は自然数) を求めよ。

(2) 2×22 \times 2 の実正方行列 A,P,QA, P, Q が次の２つの式を満たすとする。

A=λ1P+λ2QP+Q=E\begin{aligned} A = \lambda_1 P + \lambda_2 Q \\ P+Q=E \\ \end{aligned}

ここで、λ1,λ2\lambda_1, \lambda_2 は AA の固有値（ただし、∣λ1∣≤∣λ2∣|\lambda_1|\leq |\lambda_2|）、E=(1001)E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} である。また O=(0000)O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} と定義する。 A=(a02a+2)A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 2 & a+2 \end{pmatrix} のとき、以下の問いに答えよ。ただし、aa は正の実数である。

  • 1) λ1,λ2\lambda_1, \lambda_2 を求めよ。
  • 2) 行列 P,QP,Q を求めよ。
  • 3) P2=P,PQ=OP^2=P, PQ=O となることを示せ。
  • 4) AnA^n の各要素を aa および nn を用いて表せ。ただし、nn は自然数である。

题目描述​

  1. 对

    A=(−211−2),A=\begin{pmatrix}-2&1\\1&-2\end{pmatrix},

    求全部特征值及相应特征向量；用正交矩阵 UU 将 AA 对角化，并求自然数 nn 对应的 AnA^n。

  2. 设二阶实方阵 A,P,QA,P,Q 满足

    A=λ1P+λ2Q,P+Q=E,A=\lambda_1P+\lambda_2Q,\qquad P+Q=E,

    其中 λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2 为 AA 的特征值且 ∣λ1∣≤∣λ2∣|\lambda_1|\le|\lambda_2|，EE、OO 分别为二阶单位矩阵与零矩阵。对

    A=(a02a+2),a>0,A=\begin{pmatrix}a&0\\2&a+2\end{pmatrix},\qquad a>0,

    求 λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2 和 P,QP,Q；证明 P2=PP^2=P、PQ=OPQ=O；并用 a,na,n 写出 AnA^n 的全部元素。

Kai​

(1)​

1)、2)​

∣A−λE∣=∣−2−λ11−2−λ∣=(λ+3)(λ+1)|A-\lambda E| = \begin{vmatrix} -2-\lambda & 1 \\ 1 & -2-\lambda \end{vmatrix} =(\lambda+3)(\lambda+1)

よって、固有値は

λ1=−3,λ2=−1\lambda_1 = -3, \lambda_2 = -1

固有ベクトルは

v1=(−11),v2=(11)v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}

3)​

U=12(−1111)U=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}

とおけば UU は直交行列であり、UTAU=diag⁡(−3,−1)U^TAU=\operatorname{diag}(-3,-1) である。

A=(−1111)(−300−1)12(−1111)A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

よって、

An=12(−1111)((−3)n00(−1)n)(−1111)=12((−3)n+(−1)n(−1)n−(−3)n(−1)n−(−3)n(−3)n+(−1)n)\begin{aligned} A^n &= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (-3)^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} (-3)^n + (-1)^n & (-1)^n - (-3)^n \\ (-1)^n - (-3)^n & (-3)^n + (-1)^n \end{pmatrix} \end{aligned}

(2)​

1)​

∣A−λE∣=(a−λ)(a−λ+2)|A - \lambda E| = (a - \lambda)(a- \lambda + 2)

よって、

λ1=a,λ2=a+2\lambda_1 = a, \lambda_2 = a+2
v1=(−11),v2=(01)v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}

2)​

A=λ1(10−10)+λ2(0011)A = \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

3)​

P2=(10−10)(10−10)=(10−10)=PP^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = P
PQ=(10−10)(0011)=OPQ = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = O

4)​

PQ=OPQ=O であり、Q=E−PQ=E-P なので QP=OQP=O でもある。したがって、

An=(λ1P+λ2Q)n=λ1nPn+λ2nQnA^n = (\lambda_1 P + \lambda_2 Q)^n = \lambda_1^n P^n + \lambda_2^n Q^n

であることがわかる。

Q2=(0011)(0011)=(0011)=QQ^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = Q

より、

An=anP+(a+2)nQ=(an0−an+(a+2)n(a+2)n)A^n = a^n P + (a+2)^nQ = \begin{pmatrix} a^n & 0 \\ -a^n+(a+2)^n & (a+2)^n \end{pmatrix}
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