名古屋大学 工学研究科 電気電子情報工学科 2023年8月実施 基礎2

标签：

• Nagoya-University
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Orthogonal-Matrix
• Matrix-Diagonalization
• Matrix-Power
• Projection-Operator

Author

鳕鱼bot, 祭音Myyura

Description

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答えよ。

• 1) 行列 $A$ の固有値をもとめよ。
• 2) 設問 1) で求めた固有値に対応する固有ベクトルを求めよ。
• 3) 変換行列として直交行列 $U$ を用いて行列 $A$ を対角化し、$A^n$ ($n$ は自然数) を求めよ。

(2) $2 \times 2$ の実正方行列 $A, P, Q$ が次の２つの式を満たすとする。

$$\begin{aligned} A = \lambda_1 P + \lambda_2 Q \\ P+Q=E \\ \end{aligned}$$

ここで、$\lambda_1, \lambda_2$ は $A$ の固有値（ただし、$|\lambda_1|\leq |\lambda_2|$）、$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ である。また $O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ と定義する。 $A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 2 & a+2 \end{pmatrix}$ のとき、以下の問いに答えよ。ただし、$a$ は正の実数である。

• 1) $\lambda_1, \lambda_2$ を求めよ。
• 2) 行列 $P,Q$ を求めよ。
• 3) $P^2=P, PQ=O$ となることを示せ。
• 4) $A^n$ の各要素を $a$ および $n$ を用いて表せ。ただし、$n$ は自然数である。

题目描述

1. 对
   $$A=\begin{pmatrix}-2&1\\1&-2\end{pmatrix},$$
   求全部特征值及相应特征向量；用正交矩阵 $U$ 将 $A$ 对角化，并求自然数 $n$ 对应的 $A^n$。
2. 设二阶实方阵 $A,P,Q$ 满足
   $$A=\lambda_1P+\lambda_2Q,\qquad P+Q=E,$$
   其中 $\lambda_1,\lambda_2$ 为 $A$ 的特征值且 $|\lambda_1|\le|\lambda_2|$，$E$、$O$ 分别为二阶单位矩阵与零矩阵。对
   $$A=\begin{pmatrix}a&0\\2&a+2\end{pmatrix},\qquad a>0,$$
   求 $\lambda_1,\lambda_2$ 和 $P,Q$；证明 $P^2=P$、$PQ=O$；并用 $a,n$ 写出 $A^n$ 的全部元素。

考点

• 特征值与正交对角化：利用实对称矩阵的标准正交特征向量计算一般矩阵幂。
• 谱投影算子：由 $A=\lambda_1P+\lambda_2Q$、$P+Q=E$ 解出两个投影，并验证幂等与正交性。
• 矩阵幂：利用谱分解 $A^n=\lambda_1^nP+\lambda_2^nQ$ 写出显式元素。

Kai

(1)

1)、2)

$$|A-\lambda E| = \begin{vmatrix} -2-\lambda & 1 \\ 1 & -2-\lambda \end{vmatrix} =(\lambda+3)(\lambda+1)$$

よって、固有値は

$$\lambda_1 = -3, \lambda_2 = -1$$

固有ベクトルは

$$v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

3)

$$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

よって、

$$\begin{aligned} A^n &= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (-3)^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} (-3)^n + (-1)^n & (-1)^n - (-3)^n \\ (-1)^n - (-3)^n & (-3)^n + (-1)^n \end{pmatrix} \end{aligned}$$

(2)

1)

$$|A - \lambda E| = (a - \lambda)(a- \lambda + 2)$$

よって、

$$\lambda_1 = a, \lambda_2 = a+2$$

$$v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

2)

$$A = \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

3)

$$P^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = P$$

$$PQ = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = O$$

4)

$PQ = O$ より、

$$A^n = (\lambda_1 P + \lambda_2 Q)^n = \lambda_1^n P^n + \lambda_2^n Q^n$$

であることがわかる。

$$Q^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = Q$$

より、

$$A^n = a^n P + (a+2)^nQ = \begin{pmatrix} a^n & 0 \\ -a^n+(a+2)^n & (a+2)^n \end{pmatrix}$$