名古屋大学 工学研究科 電気電子情報工学科 2023年8月実施 基礎1

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• Nagoya-University
• Limit
• Double-Integral
• Polar-Coordinates
• Definite-Integral

Author

鳕鱼bot, 祭音Myyura

Description

(1) 次の極限値を求めよ。

• (i) $\lim_{x \to \infty} x^4(\frac{1}{x^2} - \sin \frac{1}{x^2})$
• (ii) $\lim_{x \to +0} (\cos x)^{\log x}$

(2) 以下の重積分を求めよ。

$$\int_D \frac{xy}{(a^2 + x^2 + y^2)(x^2+y^2)} \left( \frac{y^2}{x^2} + 2 \right) dxdy$$

但し、重積分を行う領域は $D = \{(x,y) \mid -x/\sqrt{3} \leq y \leq \sqrt{3}x, a^2 \leq x^2+y^2 \leq b^2\}$ とし、$a,b$ は $b > a > 0$ を満たす実数とする。

(3) 次の定積分を求めよ。但し、$n = 1,2,3, \cdots$ である。

• (i) $I_n = \int_0^{\pi} \frac{\sin nx}{\sin x} dx$（ヒント：計算方法は任意であるが、一例として $I_n - I_{n-2}$ がどのようになるかを考えて計算する方法がある。）
• (ii) $J_n = \int_0^{\pi} \left\{\frac{\sin nx}{\sin x}\right\}^2 dx$（ヒント：　がどのようになるかを考えてみよ。）

题目描述

1. 求
   $$\lim_{x\to\infty}x^4\left(\frac1{x^2}-\sin\frac1{x^2}\right), \qquad \lim_{x\to0^+}(\cos x)^{\log x}.$$
2. 设 $b>a>0$，在区域
   $$D=\left\{(x,y)\ \middle|\ -\frac{x}{\sqrt3}\le y\le\sqrt3x, a^2\le x^2+y^2\le b^2\right\}$$
   上计算
   $$\iint_D \frac{xy}{(a^2+x^2+y^2)(x^2+y^2)} \left(\frac{y^2}{x^2}+2\right)\,dx\,dy.$$
3. 对 $n=1,2,\ldots$，求
   $$I_n=\int_0^\pi\frac{\sin nx}{\sin x}\,dx, \qquad J_n=\int_0^\pi\left(\frac{\sin nx}{\sin x}\right)^2dx.$$
   可通过考察 $I_n-I_{n-2}$ 等递推关系计算。

考点

• 极限：利用 Taylor 展开及对数化处理高阶抵消和幂指型表达式。
• 二重积分与极坐标：把扇形圆环区域转成极坐标，并化简含 $x,y$ 比值的被积函数。
• 三角定积分递推：用三角恒等式建立关于 $n$ 的递推，并区分奇偶性求 $I_n,J_n$。

Kai

(1)

(i)

$$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} x^4(\frac{1}{x^2} - \sin \frac{1}{x^2}) &= \lim_{t \to 0} \frac{1}{t^2} (t - \sin t) \\ &= \lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{2t} \quad (\text{L'Hôpital's rule}) \\ &= 0 \end{aligned}$$

(ii)

$$\begin{aligned} \lim_{x \to +0} (\cos x)^{\log x} &= \lim_{x \to +0} e^{\log (\cos x) \log x} \\ &= \lim_{x \to +0} e^{\frac{\sin x}{x} \frac{(x \log x)^2}{\cos x}} \quad (\text{L'Hôpital's rule}) \\ &= e^0 = 1 \end{aligned}$$

(2)

$x = r\cos \theta, y = r\sin \theta$ とすると、

$$a \leq r \leq b, -\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}$$

がわかる。よって、

$$\begin{aligned} \int_D \frac{xy}{(a^2 + x^2 + y^2)(x^2+y^2)} \left( \frac{y^2}{x^2} + 2 \right) dxdy &= \int_{a}^{b} \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{r^2 \cos \theta \sin \theta (\tan^2 \theta + 2)}{(a^2+r^2)r^2} r d\theta dr\\ &= \int_a^b \frac{r}{a^2+r^2}dr \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \tan \theta (1+\cos^2 \theta) d\theta \\ &= \frac{1}{2}\log \frac{a^2+b^2}{2a^2} \left(\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \tan \theta d\theta+ \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sin \theta \cos \theta d\theta \right) \\ &= \frac{1}{2}\log \frac{a^2+b^2}{2a^2} \left( \frac{1}{2} \log3 + \frac{1}{4}\right) \end{aligned}$$

(3)

(i)

$$I_1 = \pi$$

$$I_2 = 0$$

$$I_{n-2} = \int_0^{\pi} \frac{\sin nx \cos 2x - \sin 2x \cos nx}{\sin x} dx$$

$$\begin{aligned} I_n - I_{n-2} &= \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x (1 - \cos 2x) + \sin 2x \cos nx}{\sin x}dx \\ &= \int_0^{\pi} 2(\sin nx \sin x + \cos x \cos nx) dx \\ &= 2 \int_0^{\pi} (\cos (n-1)x) dx \\ &= 0 \end{aligned}$$

よって、

$$I_n = \begin{cases} 0 &(\text{if } n \geq 1 \text{ is even}) \\ \pi &(\text{if } n \geq 1 \text{ is odd}) \end{cases}$$

(ii)

$$J_n = \int_0^{\pi} \left\{\frac{\sin nx}{\sin x}\right\}^2 = \int_0^{\pi} \frac{1-\cos 2nx}{2\sin^2 x}dx$$

$$J_{n-1} = \int_0^{\pi} \frac{1-\cos 2(n-1)x}{2\sin^2 x}dx = \int_0^{\pi} \frac{1-(\cos 2nx \cos2x + \sin 2nx \sin 2x)}{2\sin^2 x} dx$$

$$\begin{aligned} J_n - J_{n-1} &= \int_0^{\pi} \frac{-\cos 2nx (1 - \cos 2x) + \sin 2nx \sin 2x}{2\sin^2x}dx \\ &= \int_0^{\pi} \frac{-2\cos 2nx \sin^2x + 2\sin 2nx \sin x \cos x}{2\sin^2x}dx \\ &= \int_0^{\pi} \frac{\sin 2nx \cos x - \cos 2nx \sin x}{\sin x}dx \\ &= \int_0^{\pi} \frac{\sin (2n-1)x}{\sin x} dx \\ &= \pi \end{aligned}$$

よって、

$$J_n = J_0 + n\pi = n\pi$$