名古屋大学 工学研究科 機械航空系 2023年8月実施 基礎部門 問題1

Author

祭音Myyura

Description

(1)

次の極限値を求めよ。

(2)

変数 が媒介変数 の関数として下記のように与えられているとき， 導関数 を の関数として表せ。

(3)

不定積分 を求めよ。

（ヒント：被積分関数を実数関数の部分分数に分解して考えてみよ。）

(4)

次の関数 の極値を与える の組をすべて求めよ。

（ヒント：2変数関数は極値以外に鞍点を取ることがある点に注意せよ。）

Kai

(1)

(1)–1

置換 とおくと，，また なので

におけるテイラー展開

より

したがって

(1)–2

指数の形に直す：

したがって

ここで では ，一方

よって積は

から

したがって

(2)

まず で微分する：

したがって

次に の関係を調べる。計算すると

よってこの曲線は単位円 である。 単位円の陰関数 を で微分すると

実際に を代入すると

となり両者が一致することが確認できる。したがって

さらに， から なので， だけの式で書けば

となる（点ごとにどちらかの枝が選ばれる）。

(3)

分母を実数係数で因数分解する：

したがって

とおいて係数比較をすると

ゆえに

ここで，各分数の分子を「分母の微分」と「定数」に分ける：

同様に

これを用いて積分すると

(4)

まず勾配を求める。計算しやすいように とおくと 。

共通因子 をはずして とおくと

整理すると

すなわち

この連立方程式を解くと

の 点が停留点である。

次にヘッセ行列を用いて各点を分類する。

ヘッセ行列

を計算すると，各点で

• では 固有値は と （正負混在）なので，ここは 鞍点。

• では 固有値はすべて負なので，どちらも 局所最大値 を与える点。