名古屋大学 工学研究科 機械航空系 2020年8月実施 基礎部門 問題1

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• Nagoya-University
• Integration-by-Substitution
• Integration-by-Parts
• Cardioid
• Polar-Coordinates
• Arc-Length

Author

Miyake

Description

题目描述

原 Description 未录入文字；以下三大问可由现有解答确认。

1. 计算不定积分
   $$\int\sin^4x\cos^3x\,dx.$$
2. 设 $a\ne0$：
   • 通过三角代换计算 $\int dx/(x^2+a^2)$；
   • 证明递推公式
     $$\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^{n+1}} = \frac{x}{2na^2(x^2+a^2)^n} +\frac{2n-1}{2na^2} \int\frac{dx}{(x^2+a^2)^n};$$
   • 利用该公式计算
     $$\int\frac{dx}{(x^2+4)^3}.$$
3. 对心形线
   $$r=a(1+\cos\theta),$$
   求其围成的面积和整条曲线的弧长。

考点

• 换元积分与分部积分递推：根据三角函数奇偶次幂选择代换，并推导有理根式族积分的降阶公式。
• 极坐标曲线面积：使用 $S=\frac12\int r^2\,d\theta$ 计算心形线围成区域。
• 极坐标曲线弧长：使用 $\int\sqrt{r^2+(dr/d\theta)^2}\,d\theta$，结合对称性求总弧长。

Kai

(1)

$t = \sin x$ とおくと、 $dt = \cos x dx$ であるから、次のように計算できる：

$$\begin{aligned} \int \sin^4 x \cos^3 x dx &= \int t^4 \left( 1 - t^2 \right) dt \\ &= \int \left( t^4 - t^6 \right) dt \\ &= \frac{1}{5} t^5 - \frac{1}{7} t^7 + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \\ &= \frac{1}{5} \sin^5 x - \frac{1}{7} \sin^7 x + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

(2)

1)

$x = a \tan \theta$ とおくと、 $dx = ad \theta / \cos^2 \theta$ であるから、次のように計算できる：

$$\begin{aligned} \int \frac{1}{x^2+a^2} dx &= \frac{1}{a^2} \int \frac{1}{\tan^2 \theta + 1} \frac{a d \theta}{\cos^2 \theta} \\ &= \frac{1}{a} \int d \theta \\ &= \frac{\theta}{a} + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \\ &= \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

2)

$$\begin{aligned} \frac{d}{dx} \int \frac{1}{(x^2+a^2)^{n+1}} dx &= \frac{1}{(x^2+a^2)^{n+1}} , \\ \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2na^2(x^2+a^2)^n} + \frac{2n-1}{2na^2} \int \frac{1}{(x^2+a^2)^n} \right) &= \frac{1}{2na^2} \frac{(x^2+a^2)^n - 2x^2 (x^2+a^2)^{n-1}}{(x^2+a^2)^{2n}} + \frac{2n-1}{2na^2} \frac{1}{(x^2+a^2)^n} \\ &= \frac{1}{(x^2+a^2)^{n+1}} \end{aligned}$$

であるから、与えられた式が成り立つことがわかる。

3)

$$\begin{aligned} \int \frac{1}{(x^2+4)^3} dx &= \frac{x}{16(x^2+4)^2} + \frac{3}{16} \int \frac{1}{(x^2+4)^2} + C_0 \ \ \ \ \ \ \ \ ( C_0 \text{ は任意定数 } ) \\ &= \frac{x}{16(x^2+4)^2} + \frac{3}{16} \frac{x}{8(x^2+4)} + \frac{3}{16} \frac{1}{8} \int \frac{1}{x^2+4} + C_1 \ \ \ \ \ \ \ \ ( C_1 \text{ は任意定数 } ) \\ &= \frac{x}{16(x^2+4)^2} + \frac{3}{16} \frac{x}{8(x^2+4)} + \frac{3}{16} \frac{1}{8} \frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2} + C_2 \ \ \ \ \ \ \ \ ( C_2 \text{ は任意定数 } ) \\ &= \frac{x}{16(x^2+4)^2} + \frac{3x}{128(x^2+4)} + \frac{3}{256} \arctan \frac{x}{2} + C_2 \ \ \ \ \ \ \ \ ( C_2 \text{ は任意定数 } ) \end{aligned}$$

(3)

極座標の面積公式より

$$\begin{aligned} S &= \dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}r^2d\theta\\ &= \dfrac{a^2}{2} \int_0^{2\pi} (1+\cos\theta)^2d \theta\\ &= \dfrac{a^2}{2} \int_0^{2\pi} \left(1+2\cos\theta+\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right) d\theta \end{aligned}$$

ここで，$\cos \theta, \cos 2\theta$ は一周期ぶん積分すると $0$ になるので，$S = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 2 \pi = \frac{3}{2} \pi a^2$ を得る。

曲線の長さ

$$\begin{aligned} l &= 2 \int_0^{\pi} \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} d\theta\\ &=2 \int_0^{\pi} \sqrt{a^2(1+\cos\theta)^2+a^2\sin^2\theta} d\theta\\ &=2 \int_0^{\pi} \sqrt{2a^2+2a^2\cos\theta} d\theta\\ &=2a \int_0^{\pi} \sqrt{4\cos^2\frac{\theta}{2}} d\theta\\ &=4a \int_0^{\pi} \cos\frac{\theta}{2} d\theta\\ &=8a \end{aligned}$$