名古屋大学 工学研究科 機械航空系 2020年8月実施 基礎部門 問題1

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• 名古屋大学
• 换元积分法
• 分部积分法
• 心形线
• 极坐标
• 弧长

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

題意の要約（暫定）。

1. 不定積分 $\int\sin^4x\cos^3x\,dx$ を求める。
2. $a\ne0$ とする。

   • 三角関数による置換を用いて $\int dx/(x^2+a^2)$ を計算する。

   • 正の整数 $n$ について、次の漸化式を示す。

     $$\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^{n+1}} =\frac{x}{2na^2(x^2+a^2)^n} +\frac{2n-1}{2na^2}\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^n}.$$

   • この式から $\int dx/(x^2+4)^3$ を求める。

3. カージオイド $r=a(1+\cos\theta)$ が囲む面積と曲線全体の長さを計算する。

题目描述

1. 计算不定积分

   $$\int\sin^4x\cos^3x\,dx.$$

2. 设 $a\ne0$：

   • 通过三角代换计算 $\int dx/(x^2+a^2)$；

   • 对正整数 $n$ 证明递推公式

     $$\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^{n+1}} = \frac{x}{2na^2(x^2+a^2)^n} +\frac{2n-1}{2na^2} \int\frac{dx}{(x^2+a^2)^n};$$

   • 利用该公式计算

     $$\int\frac{dx}{(x^2+4)^3}.$$

3. 对心形线

   $$r=a(1+\cos\theta),$$

   求其围成的面积和整条曲线的弧长。

Kai

(1)

$t = \sin x$ とおくと、 $dt = \cos x dx$ であるから、次のように計算できる：

$$\begin{aligned} \int \sin^4 x \cos^3 x dx &= \int t^4 \left( 1 - t^2 \right) dt \\ &= \int \left( t^4 - t^6 \right) dt \\ &= \frac{1}{5} t^5 - \frac{1}{7} t^7 + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \\ &= \frac{1}{5} \sin^5 x - \frac{1}{7} \sin^7 x + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

(2)

1)

$x = a \tan \theta$ とおくと、 $dx = ad \theta / \cos^2 \theta$ であるから、次のように計算できる：

$$\begin{aligned} \int \frac{1}{x^2+a^2} dx &= \frac{1}{a^2} \int \frac{1}{\tan^2 \theta + 1} \frac{a d \theta}{\cos^2 \theta} \\ &= \frac{1}{a} \int d \theta \\ &= \frac{\theta}{a} + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \\ &= \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

2)

$$\begin{aligned} \frac{d}{dx} \int \frac{1}{(x^2+a^2)^{n+1}} dx &= \frac{1}{(x^2+a^2)^{n+1}} , \\ \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2na^2(x^2+a^2)^n} + \frac{2n-1}{2na^2} \int \frac{1}{(x^2+a^2)^n} dx \right) &= \frac{1}{2na^2} \frac{(x^2+a^2)^n - 2nx^2 (x^2+a^2)^{n-1}}{(x^2+a^2)^{2n}} + \frac{2n-1}{2na^2} \frac{1}{(x^2+a^2)^n} \\ &= \frac{1}{(x^2+a^2)^{n+1}} \end{aligned}$$

であるから、与えられた式が成り立つことがわかる。

3)

$$\begin{aligned} \int \frac{1}{(x^2+4)^3} dx &= \frac{x}{16(x^2+4)^2} + \frac{3}{16} \int \frac{1}{(x^2+4)^2} dx + C_0 \ \ \ \ \ \ \ \ ( C_0 \text{ は任意定数 } ) \\ &= \frac{x}{16(x^2+4)^2} + \frac{3}{16} \frac{x}{8(x^2+4)} + \frac{3}{16} \frac{1}{8} \int \frac{1}{x^2+4} dx + C_1 \ \ \ \ \ \ \ \ ( C_1 \text{ は任意定数 } ) \\ &= \frac{x}{16(x^2+4)^2} + \frac{3}{16} \frac{x}{8(x^2+4)} + \frac{3}{16} \frac{1}{8} \frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2} + C_2 \ \ \ \ \ \ \ \ ( C_2 \text{ は任意定数 } ) \\ &= \frac{x}{16(x^2+4)^2} + \frac{3x}{128(x^2+4)} + \frac{3}{256} \arctan \frac{x}{2} + C_2 \ \ \ \ \ \ \ \ ( C_2 \text{ は任意定数 } ) \end{aligned}$$

(3)

極座標の面積公式より

$$\begin{aligned} S &= \dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}r^2d\theta\\ &= \dfrac{a^2}{2} \int_0^{2\pi} (1+\cos\theta)^2d \theta\\ &= \dfrac{a^2}{2} \int_0^{2\pi} \left(1+2\cos\theta+\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right) d\theta \end{aligned}$$

ここで，$\cos \theta, \cos 2\theta$ は一周期ぶん積分すると $0$ になるので，$S = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 2 \pi = \frac{3}{2} \pi a^2$ を得る。

曲線の長さ

$$\begin{aligned} l &= 2 \int_0^{\pi} \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} d\theta\\ &=2 \int_0^{\pi} \sqrt{a^2(1+\cos\theta)^2+a^2\sin^2\theta} d\theta\\ &=2 \int_0^{\pi} \sqrt{2a^2+2a^2\cos\theta} d\theta\\ &=2a \int_0^{\pi} \sqrt{4\cos^2\frac{\theta}{2}} d\theta\\ &=4a \int_0^{\pi} \cos\frac{\theta}{2} d\theta\\ &=8a \qquad (a>0) \end{aligned}$$

$a$ の符号を仮定しない場合、弧長は $8|a|$ である。