名古屋大学 工学研究科 機械航空系 2017年8月実施 専門部門 問題6

标签：

• 名古屋大学
• 节点电压法
• 互感
• 二端口网络

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

問題6. 以下の問いに答えよ。ただし，変数上部の「・」は複素数表示を意味する。

(1) 図1，図2，図3のように抵抗がはしご状に接続された回路がある。

1) 図1において電圧 $E_1$ を求めよ。

2) 図2において電圧 $E_2$ を求めよ。

3) 図3において電圧 $E_n$ を $E_{n-1}$ を用いて表せ。

4) 図3において電圧 $E_n$ を求めよ。

(2) 図4に示す回路がある。交流電圧源 $\dot E$ の角周波数を $\omega$ とする。また，$M$ を相互インダクタンスとする。

1) $M=0$ のとき，$\dot I_1$ と $\dot I_2$ を $L,R,\dot E,\omega$ を用いて表せ。

2) $M>0$ のとき，$\dot I_1$ と $\dot I_2$ を $L,M,R,\dot E,\omega$ を用いて表せ。

(3) 図5，図6に示す回路がある。交流電圧源の角周波数を $\omega$ とする。

1) 図5の四端子定数を求めよ。

2) 図6の四端子定数を求めよ。

题目描述

问题6. 回答下列问题。变量上方的“・”表示复数形式。

(1) 有图1、图2、图3所示电阻按梯形连接的电路。

1) 求图1中的电压 $E_1$。

2) 求图2中的电压 $E_2$。

3) 用 $E_{n-1}$ 表示图3中的电压 $E_n$。

4) 求图3中的电压 $E_n$。

图1、图2、图3分别为1级、2级、$n$ 级电阻梯形电路，图中保留了全部阻值和节点连接。

(2) 考虑图4所示电路。交流电压源 $\dot E$ 的角频率为 $\omega$，互感为 $M$。

1) 当 $M=0$ 时，用 $L,R,\dot E,\omega$ 表示 $\dot I_1,\dot I_2$。

2) 当 $M>0$ 时，用 $L,M,R,\dot E,\omega$ 表示 $\dot I_1,\dot I_2$。

图4给出了两回路的连接、互感同名端和电流参考方向。

(3) 考虑图5、图6所示电路，交流电压源的角频率为 $\omega$。

1) 求图5的四端子参数。

2) 求图6的四端子参数。

图5、图6给出了端口编号、电压电流参考方向以及各电感和电容的连接。

Kai

(1)

下段をテブナン等価に置き換える。1 段の場合、端子 A から下方を見た回路は開放電圧 $V/2$、等価抵抗 $R$ となる。A はこの等価源と $V$ を等しい抵抗 $R$ を介して結ぶ中点だから

$$\boxed{E_1=\frac{V+V/2}{2}=\frac34V}.$$

段を一つ加えても同じ等価抵抗の関係が保たれ、

$$E_n=\frac{V+E_{n-1}}2,\qquad E_0=\frac V2.$$

従って

$$\boxed{E_2=\frac78V},\qquad \boxed{E_n=\left(1-\frac1{2^{n+1}}\right)V}.$$

(2)

左コイルはドットへ $\dot I_1$ が流れ込むのに対し、右コイルはドットから $\dot I_1+\dot I_2$ が流れ出す。したがって右端と下端の電位差は

$$R\dot I_2=j\omega M\dot I_1-j\omega L(\dot I_1+\dot I_2).$$

また、左端から右端へのループについて

$$\dot E=(R+j\omega L-j\omega M)\dot I_1-(R+j\omega M)\dot I_2.$$

これらを連立する。

1)

$M=0$ として

$$\boxed{\dot I_1=\frac{(R+j\omega L)\dot E}{R^2-\omega^2L^2+j3\omega LR}}, \qquad \boxed{\dot I_2=\frac{-j\omega L\dot E}{R^2-\omega^2L^2+j3\omega LR}}.$$

2)

$$\Delta=R^2-\omega^2(L^2-M^2)+j\omega R(3L-2M)$$

とおくと

$$\boxed{\dot I_1=\frac{(R+j\omega L)\dot E}{\Delta}},\qquad \boxed{\dot I_2=\frac{-j\omega(L-M)\dot E}{\Delta}}.$$

$M\to0$ で 1) に一致する。特に $M=L$ では $\dot I_2=0$、$\dot I_1=\dot E/R$ となり、逆向きの磁化が打ち消し合う。

(3)

並列枝のアドミタンスを $Y=j(\omega C-1/(\omega L))$、容量 $C$ の直列枝のインピーダンスを $Z=1/(j\omega C)$ とおく。基本行列は

$$F_{\rm shunt}=\begin{pmatrix}1&0\\Y&1\end{pmatrix},\qquad F_{\rm series}=\begin{pmatrix}1&Z\\0&1\end{pmatrix}.$$

図5

$$F_5=F_{\rm shunt}F_{\rm series} =\boxed{\begin{pmatrix} 1&-j/(\omega C)\\ j(\omega C-1/(\omega L))&2-1/(\omega^2LC) \end{pmatrix}}.$$

図6

直列枝が $C/2$ なのでインピーダンスは $Z'=2Z$。

$$\begin{gathered} F_6=\begin{pmatrix}1&0\\Y&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2Z\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\Y&1\end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix}1+2ZY&2Z\\2Y(1+ZY)&1+2ZY\end{pmatrix}. \end{gathered}$$

従って

$$\boxed{\dot A=\dot D=3-\frac2{\omega^2LC},\qquad\dot B=-\frac{2j}{\omega C}},$$

$$\boxed{\dot C=j\left(\omega C-\frac1{\omega L}\right)\left(4-\frac2{\omega^2LC}\right)}.$$

いずれも $\dot A\dot D-\dot B\dot C=1$ を満たす。

Reference

• 名古屋大学公式問題：2017年8月23日実施・専門部門、PDF 7ページ