名古屋大学 工学研究科 機械航空系 2017年8月実施 専門部門 問題5

标签：

• 名古屋大学
• 梁的挠度
• 应力变换与主应力
• 复合梁

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

問題5

(1) 図1に示すような，長さ $l$，ヤング率 $E$，断面2次モーメント $I$ のはりの曲げ変形について考える。左端は単純支持され，右端は固定されている。はりに荷重が作用していない状態では，はりのたわみはすべて0である。また，はりの中点において，はりに垂直な方向に荷重 $P$ が作用している。以下の問いに答えよ。

1) はりの右端における曲げモーメントを $M_0$ として，このはりに生じる曲げモーメントの分布を $M_0,P,l$ および座標 $x$（左端を $x=0$ とする）を用いて表せ。

2) はりの右端における曲げモーメント $M_0$ を $P,l$ を用いて表せ。

3) はりに生じるたわみの分布を，区間 $0\le x\le l/2$ と $l/2\le x\le l$ のそれぞれにおいて求めよ。ただし，$P,l,E,I,x$ を用いて表すこと。

(2) 図2に示すように，内径 $d_1$，外径 $d_2$，長さ $l$，ヤング率 $E_1$，線膨張係数 $\alpha_1$ の円筒の中に直径 $d_0$，長さ $l$，ヤング率 $E_0$，線膨張係数 $\alpha_0$ の円柱を入れ，上下端を剛体板で結合する。温度を $T_0$ から $T_1$ に上昇させたときについて，以下の問いに答えよ。ただし，温度 $T_0$ の状態において，円筒および円柱における応力，ひずみ，伸びはすべて0であるとする。円周率は $\pi$ とせよ。なお，$d_2>d_1>d_0$，および $\alpha_1>\alpha_0$ であり，ポアソン効果は無視してよい。

1) 円柱に作用する引張応力を $\sigma_0$，円筒に作用する引張応力を $\sigma_1$ として，温度 $T_1$ の状態で円柱と円筒それぞれに生じるひずみを，$\sigma_0,\sigma_1$ および本問題の主文にて与えられた記号を用いて表せ。

2) 温度 $T_1$ の状態において，円柱と円筒それぞれに作用する応力を本問題の主文にて与えられた記号のみを用いて表せ。

3) 温度 $T_1$ の状態における構造全体の伸びを，本問題の主文にて与えられた記号のみを用いて表せ。

(3) 2次元応力状態にある弾性体について考える。いま，この弾性体に対して一様に垂直応力 $\sigma_x=80\,\mathrm{MPa},\ \sigma_y=-20\,\mathrm{MPa}$，せん断応力 $\tau_{xy}=\tau_{yx}=50\,\mathrm{MPa}$ が作用している。以下の問いに答えよ。

1) この応力状態を表すモールの応力円を描け。

2) 主応力の大きさと主応力が生じる方向（角度）をそれぞれ求めよ。

3) 主せん断応力の大きさと主せん断応力が生じる方向（角度）をそれぞれ求めよ。

题目描述

问题5

(1) 考虑图1中长度为 $l$、杨氏模量为 $E$、截面二次矩为 $I$ 的梁的弯曲变形。梁左端简支、右端固定；无载荷时，梁各处挠度均为0。在梁中点施加垂直于梁的载荷 $P$。回答下列问题。

1) 设梁右端的弯矩为 $M_0$，用 $M_0,P,l$ 和坐标 $x$（左端为 $x=0$）表示梁的弯矩分布。

2) 用 $P,l$ 表示梁右端的弯矩 $M_0$。

3) 分别求 $0\le x\le l/2$ 和 $l/2\le x\le l$ 区间内的挠度分布，用 $P,l,E,I,x$ 表示。

(2) 如图2，将直径 $d_0$、长度 $l$、杨氏模量 $E_0$、线膨胀系数 $\alpha_0$ 的圆柱放入内径 $d_1$、外径 $d_2$、长度 $l$、杨氏模量 $E_1$、线膨胀系数 $\alpha_1$ 的圆筒中，并用刚性板连接上下两端。针对温度从 $T_0$ 升高至 $T_1$ 的情况回答下列问题。温度为 $T_0$ 时，圆筒和圆柱的应力、应变、伸长量均为0。圆周率记为 $\pi$。设 $d_2>d_1>d_0$，$\alpha_1>\alpha_0$，忽略泊松效应。

1) 设圆柱和圆筒上的拉应力分别为 $\sigma_0,\sigma_1$，用 $\sigma_0,\sigma_1$ 以及本问题干给出的符号，分别表示温度为 $T_1$ 时圆柱和圆筒的应变。

2) 仅用本问题干给出的符号，分别表示温度为 $T_1$ 时圆柱和圆筒的应力。

3) 仅用本问题干给出的符号，表示温度为 $T_1$ 时整个结构的伸长量。

(3) 考虑处于二维应力状态的弹性体，其上均匀作用有正应力 $\sigma_x=80\,\mathrm{MPa},\ \sigma_y=-20\,\mathrm{MPa}$ 和剪应力 $\tau_{xy}=\tau_{yx}=50\,\mathrm{MPa}$。回答下列问题。

1) 画出表示该应力状态的莫尔应力圆。

2) 分别求主应力的大小及其对应方向（角度）。

3) 分别求主剪应力的大小及其对应方向（角度）。

Kai

(1)

1)

左端の上向き反力を $R_A$ とすると、$M(l)=R_Al-Pl/2=M_0$ より $R_A=M_0/l+P/2$。従って

$$\boxed{M(x)=\begin{cases} (M_0/l+P/2)x,&0\le x\le l/2,\\ (M_0/l-P/2)x+Pl/2,&l/2\le x\le l. \end{cases}}$$

2), 3)

下向きたわみに対して $EIw''=-M$ を区間ごとに積分する。条件は $w(0)=0$、$w(l)=w'(l)=0$、および $x=l/2$ で $w,w'$ が連続することである。これらから

$$\boxed{R_A=\frac{5P}{16}},\qquad\boxed{M_0=-\frac{3Pl}{16}},$$

$$\boxed{w(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{Px(3l^2-5x^2)}{96EI},&0\le x\le l/2,\\[4pt] \displaystyle\frac{P(l-x)^2(11x-2l)}{96EI},&l/2\le x\le l. \end{cases}}$$

例えば中央たわみは $w(l/2)=7Pl^3/(768EI)$ である。

(2)

1), 2)

$\Delta T=T_1-T_0$、$A_0=\pi d_0^2/4$、$A_1=\pi(d_2^2-d_1^2)/4$ とおく。引張応力を正に取り、各部材について

$$\boxed{\varepsilon_i=\frac{\sigma_i}{E_i}+\alpha_i\Delta T\quad(i=0,1)}.$$

剛体板により $\varepsilon_0=\varepsilon_1$、外力がないため $A_0\sigma_0+A_1\sigma_1=0$。連立して

$$\boxed{\sigma_0=\frac{E_0E_1(d_2^2-d_1^2)(\alpha_1-\alpha_0)\Delta T} {E_0d_0^2+E_1(d_2^2-d_1^2)}}>0,$$

$$\boxed{\sigma_1=-\frac{E_0E_1d_0^2(\alpha_1-\alpha_0)\Delta T} {E_0d_0^2+E_1(d_2^2-d_1^2)}}<0.$$

丸棒は引張り、円筒は圧縮となる。

3)

$$\boxed{\lambda=l\Delta T\, \frac{\alpha_0E_0d_0^2+\alpha_1E_1(d_2^2-d_1^2)} {E_0d_0^2+E_1(d_2^2-d_1^2)}}.$$

(3)

1)

モール円の中心と半径は

$$C=\frac{80-20}{2}=30\ \mathrm{MPa},\qquad r=\sqrt{50^2+50^2}=50\sqrt2\ \mathrm{MPa}.$$

従って円の式は $\boxed{(\sigma-30)^2+\tau^2=5000}$（応力の単位は MPa）。

2)

$$\begin{gathered} \boxed{\sigma_1=30+50\sqrt2\simeq100.71\ \mathrm{MPa}},\\ \boxed{\sigma_2=30-50\sqrt2\simeq-40.71\ \mathrm{MPa}}. \end{gathered}$$

$x$ 軸から面の法線への反時計回り角を $\psi$ とすると

$$\begin{gathered} \sigma_n=30+50\cos2\psi+50\sin2\psi,\\ \tau_n=-50\sin2\psi+50\cos2\psi. \end{gathered}$$

従って主方向は $\boxed{\psi_1=22.5^\circ,\ \psi_2=112.5^\circ}$（各 $180^\circ$ の周期）。

3)

$$\boxed{|\tau|_{\max}=50\sqrt2\simeq70.71\ \mathrm{MPa}}.$$

対応する面の法線は $\boxed{\psi=-22.5^\circ,\ 67.5^\circ}$。前者で $\tau_n=+50\sqrt2$、後者で $-50\sqrt2$ となる。

Reference

• 名古屋大学公式問題：2017年8月23日実施・専門部門、PDF 6ページ