名古屋大学 工学研究科 機械航空系 2018年度 基礎部門 問題6

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• 名古屋大学
• 磁偶极子的力矩
• 磁偶极子的矢势

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$xy$ 平面内の原点中心・半径 $a$ の円形導線に、$+z$ 側から見て反時計回りに電流 $I$ が流れる。位置を $\boldsymbol r=a(\cos\theta,\sin\theta,0)$、微小弧長を $ds$ とし、磁場は $\boldsymbol B_0=(0,B_0\sin\phi,B_0\cos\phi)$ とする。

(1)

1. 電流方向の単位接線ベクトル $\boldsymbol t$ を求めよ。
2. 微小部分が受ける磁気力 $d\boldsymbol F_a$ を求めよ。
3. この力の $x$ 軸まわりのモーメントの大きさを求めよ。
4. 円全体に働くトルクの大きさ $T$ を求めよ。
5. 面積 $S=\pi a^2$ と磁気モーメント $\boldsymbol m$ を用いてトルクをベクトル表示せよ。

(2)

外部磁場をゼロとする。遠方 $|\boldsymbol r|\gg a$ のベクトルポテンシャルが、真空透磁率を $\mu_0$ として

$$\boldsymbol A(\boldsymbol r)=\frac{\mu_0}{4\pi|\boldsymbol r|^3}(\boldsymbol m\times\boldsymbol r)$$

で与えられる。

1. 磁束密度 $\boldsymbol B_d$ と $\boldsymbol A$ の関係を記せ。
2. 遠方の磁束密度を求めよ。
3. $z$ 軸上の磁束密度の向きと大きさを求めよ。
4. $x$ 軸上の磁束密度の向きと大きさを求めよ。

题目描述

半径为 $a$ 的圆形导线位于 $xy$ 平面，圆心在原点；从 $+z$ 方向看，电流 $I$ 逆时针流动。圆上位置为 $a(\cos\theta,\sin\theta,0)$，弧元为 $ds$，外场为 $(0,B_0\sin\phi,B_0\cos\phi)$。（1）求电流方向单位切向量、弧元磁力、该力关于 $x$ 轴的力矩大小、整个圆环的力矩大小，并以面积 $S=\pi a^2$ 和磁矩写出矢量形式。（2）去掉外场，在 $r\gg a$ 处给定 $\boldsymbol A=\mu_0(\boldsymbol m\times\boldsymbol r)/(4\pi r^3)$。写出磁感应强度与矢势的关系，推导偶极磁场，并分别求 $z$ 轴和 $x$ 轴上的大小和方向。

Kai

(1)

1), 2)

$$\boxed{\boldsymbol t=(-\sin\theta,\cos\theta,0)},$$

$$d\boldsymbol F_a=I\boldsymbol t\times\boldsymbol B_0\,ds =\boxed{IB_0(\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\theta\sin\phi)\,ds}.$$

3), 4)

微小モーメントの $x$ 成分は

$$(\boldsymbol r\times d\boldsymbol F_a)_x=-IaB_0\sin^2\theta\sin\phi\,ds.$$

従って大きさは $IaB_0\sin^2\theta\,|\sin\phi|\,ds$。角度を $0\le\phi\le\pi$ とすれば絶対値は不要である。$ds=a\,d\theta$ として一周積分すると、他の成分は打ち消し合い、

$$\boldsymbol T=-\pi a^2IB_0\sin\phi\,\boldsymbol e_x, \qquad\boxed{T=\pi a^2IB_0|\sin\phi|}.$$

5)

$$\boxed{\boldsymbol m=IS\boldsymbol e_z},\qquad \boxed{\boldsymbol T=\boldsymbol m\times\boldsymbol B_0}.$$

(2)

1), 2)

$$\boxed{\boldsymbol B_d=\nabla\times\boldsymbol A}.$$

$r=|\boldsymbol r|\ne0$ とおく。$\nabla r^{-3}=-3\boldsymbol r/r^5$ と $\nabla\times(\boldsymbol m\times\boldsymbol r)=2\boldsymbol m$ より

$$\boxed{\boldsymbol B_d=\frac{\mu_0}{4\pi}\left[\frac{3(\boldsymbol m\cdot\boldsymbol r)\boldsymbol r}{r^5}-\frac{\boldsymbol m}{r^3}\right]}.$$

3), 4)

$m=\pi a^2I$ とすると、$z$ 軸上では正負どちらの側でも

$$\boxed{\boldsymbol B_d=\frac{\mu_0m}{2\pi|z|^3}\boldsymbol e_z}$$

で、向きは $+z$。$x$ 軸上では

$$\boxed{\boldsymbol B_d=-\frac{\mu_0m}{4\pi|x|^3}\boldsymbol e_z}$$

で、向きは $-z$ である。

Reference

• 名古屋大学公式問題：2017年8月22日実施・基礎部門、PDF 7ページ