名古屋大学 工学研究科 機械航空系 2017年8月実施 基礎部門 問題6

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• 名古屋大学
• 磁偶极子的力矩
• 磁偶极子的矢势

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

問題6

図1に示すように，中心軸を $z$ 軸とする半径 $a$ の円形コイルが，$xy$ 平面内に固定して置いてある。そのコイルには，図1に示す向きに大きさ $I$ の定常電流（円電流）が流れている。

(1) コイルの置かれている空間に $z$ 軸とのなす角を $\phi$ とする一様な磁場 $\boldsymbol B_0=(0,B_0\sin\phi,B_0\cos\phi)$ を加えた。コイルが磁場から受けるトルク $T$ を求めたい。

1) $x$ 軸となす角を $\theta$ とする位置ベクトル $\boldsymbol r_a$ で示される円形コイル上の点を流れる電流の方向を示す単位ベクトルを求めよ。

2) $x$ 軸となす角を $\theta$ とする位置ベクトル $\boldsymbol r_a$ で示される微小区間（長さ $ds$）が $\boldsymbol B_0$ から受ける力を $d\boldsymbol F_a$ とする。ベクトル $d\boldsymbol F_a$ を $I,B_0,ds,\theta,\phi$ を用いて成分表示せよ。

3) $x$ 軸となす角を $\theta$ とする位置ベクトル $\boldsymbol r_a$ で示される微小区間（長さ $ds$）にはたらく $x$ 軸まわりのトルクの大きさ $dT$ を求め $I,B_0,ds,\theta,\phi,a$ を用いて表せ。

4) コイル全体が磁場から受ける $x$ 軸まわりのトルクの大きさ $T$ を $\theta$ による積分で求め $B_0,I,a,\phi$ を用いて表せ。

5) コイルの面積 $S\ (=\pi a^2)$ と円電流 $I$ により磁気双極子 $\boldsymbol m$ を $\boldsymbol m=SI\boldsymbol e_z$ と定義する。ここで，$\boldsymbol e_z$ は，$z$ 軸方向の単位ベクトルである。$T$ を $\boldsymbol B_0,\boldsymbol m$ を用いて表せ。

(2) 円電流から十分に離れた遠方の位置 $\boldsymbol r$ におけるベクトルポテンシャル $\boldsymbol A(\boldsymbol r)$ は問(1)の5)で定義した $\boldsymbol m$ と真空の透磁率 $\mu_0$ を用いて

$$\boldsymbol A(\boldsymbol r)=\frac{\mu_0}{4\pi|\boldsymbol r|^3}(\boldsymbol m\times\boldsymbol r)\tag{①}$$

と表される。$B_0=0$ として以下の問いに答えよ。

1) ベクトルポテンシャル $\boldsymbol A(\boldsymbol r)$ と磁場 $\boldsymbol B(\boldsymbol r)$ の関係を式で示せ。

2) 図1の円電流が十分に離れた遠方につくる磁場 $\boldsymbol B_d(\boldsymbol r)$ を①式より求めよ。

3) 図1の円電流から十分に離れた遠方において，$z$ 軸上の磁場を考える。その大きさの原点からの距離 $r$ に対する依存性，およびその向きを示せ。

4) 図1の円電流から十分に離れた遠方において，$x$ 軸上の磁場を考える。その大きさの原点からの距離 $r$ に対する依存性，およびその向きを示せ。

题目描述

问题6

如图1，半径为 $a$、中心轴为 $z$ 轴的圆形线圈固定于 $xy$ 平面内。线圈中沿图示方向通有大小为 $I$ 的恒定电流（圆电流）。

(1) 在线圈所在空间施加与 $z$ 轴成角 $\phi$ 的均匀磁场 $\boldsymbol B_0=(0,B_0\sin\phi,B_0\cos\phi)$，要求线圈受到的磁场力矩 $T$。

1) 求圆形线圈上由与 $x$ 轴成角 $\theta$ 的位置向量 $\boldsymbol r_a$ 表示的点处，沿电流方向的单位向量。

2) 设由位置向量 $\boldsymbol r_a$（与 $x$ 轴成角 $\theta$）表示的微小线段（长度 $ds$）受到磁场 $\boldsymbol B_0$ 的力为 $d\boldsymbol F_a$。用 $I,B_0,ds,\theta,\phi$ 给出向量 $d\boldsymbol F_a$ 的分量表达式。

3) 求上述微小线段（长度 $ds$）受到的绕 $x$ 轴的力矩大小 $dT$，用 $I,B_0,ds,\theta,\phi,a$ 表示。

4) 对 $\theta$ 积分，求整个线圈受到的绕 $x$ 轴的力矩大小 $T$，用 $B_0,I,a,\phi$ 表示。

5) 用线圈面积 $S=\pi a^2$ 和圆电流 $I$ 定义磁偶极矩 $\boldsymbol m=SI\boldsymbol e_z$，其中 $\boldsymbol e_z$ 为 $z$ 轴方向的单位向量。用 $\boldsymbol B_0,\boldsymbol m$ 表示 $T$。

(2) 在距离圆电流足够远的位置 $\boldsymbol r$，矢量势 $\boldsymbol A(\boldsymbol r)$ 可用第(1)-5)问定义的 $\boldsymbol m$ 及真空磁导率 $\mu_0$ 表示为

$$\boldsymbol A(\boldsymbol r)=\frac{\mu_0}{4\pi|\boldsymbol r|^3}(\boldsymbol m\times\boldsymbol r).\tag{①}$$

令 $B_0=0$，回答下列问题。

1) 用公式表示矢量势 $\boldsymbol A(\boldsymbol r)$ 与磁场 $\boldsymbol B(\boldsymbol r)$ 的关系。

2) 由式①求图1中圆电流在远场产生的磁场 $\boldsymbol B_d(\boldsymbol r)$。

3) 在距离图1中圆电流足够远处，考虑 $z$ 轴上的磁场，给出其大小对距原点距离 $r$ 的依赖关系，并指出其方向。

4) 在距离图1中圆电流足够远处，考虑 $x$ 轴上的磁场，给出其大小对距原点距离 $r$ 的依赖关系，并指出其方向。

Kai

(1)

1), 2)

$$\boxed{\boldsymbol t=(-\sin\theta,\cos\theta,0)},$$

$$\begin{gathered} d\boldsymbol F_a=I\boldsymbol t\times\boldsymbol B_0\,ds\\ =\boxed{IB_0(\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\theta\sin\phi)\,ds}. \end{gathered}$$

3), 4)

微小モーメントの $x$ 成分は

$$(\boldsymbol r\times d\boldsymbol F_a)_x=-IaB_0\sin^2\theta\sin\phi\,ds.$$

従って大きさは $IaB_0\sin^2\theta\,|\sin\phi|\,ds$。角度を $0\le\phi\le\pi$ とすれば絶対値は不要である。$ds=a\,d\theta$ として一周積分すると、他の成分は打ち消し合い、

$$\boldsymbol T=-\pi a^2IB_0\sin\phi\,\boldsymbol e_x, \qquad\boxed{T=\pi a^2IB_0|\sin\phi|}.$$

5)

$$\boxed{\boldsymbol m=IS\boldsymbol e_z},\qquad \boxed{\boldsymbol T=\boldsymbol m\times\boldsymbol B_0}.$$

(2)

1), 2)

$$\boxed{\boldsymbol B_d=\nabla\times\boldsymbol A}.$$

$r=|\boldsymbol r|\ne0$ とおく。$\nabla r^{-3}=-3\boldsymbol r/r^5$ と $\nabla\times(\boldsymbol m\times\boldsymbol r)=2\boldsymbol m$ より

$$\boxed{\boldsymbol B_d=\frac{\mu_0}{4\pi}\left[\frac{3(\boldsymbol m\cdot\boldsymbol r)\boldsymbol r}{r^5}-\frac{\boldsymbol m}{r^3}\right]}.$$

3), 4)

$m=\pi a^2I$ とすると、$z$ 軸上では正負どちらの側でも

$$\boxed{\boldsymbol B_d=\frac{\mu_0m}{2\pi|z|^3}\boldsymbol e_z}$$

で、向きは $+z$。$x$ 軸上では

$$\boxed{\boldsymbol B_d=-\frac{\mu_0m}{4\pi|x|^3}\boldsymbol e_z}$$

で、向きは $-z$ である。

Reference

• 名古屋大学公式問題：2017年8月22日実施・基礎部門、PDF 7ページ