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名古屋大学 工学研究科 機械航空系 2018年度 基礎部門 問題4

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

三次元直交座標系において、x,y,zx,y,z 軸の正方向の単位ベクトルをそれぞれ i,j,k\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k とする。

  1. a=i+2j−3k\boldsymbol a=\boldsymbol i+2\boldsymbol j-3\boldsymbol k、b=2i+3j−5k\boldsymbol b=2\boldsymbol i+3\boldsymbol j-5\boldsymbol k とする。1) a,b\boldsymbol a,\boldsymbol b を二辺とする平行四辺形の面積、2) その単位法線ベクトル、3) 点 (1,2,−1)(1,2,-1) を通り a,b\boldsymbol a,\boldsymbol b と平行な平面の方程式を求めよ。
  2. 円柱面 r=cos⁡v i+sin⁡v j+2u k\boldsymbol r=\cos v\,\boldsymbol i+\sin v\,\boldsymbol j+2u\,\boldsymbol k（−∞<u<∞-\infty<u<\infty、0≤v≤2π0\le v\le2\pi）と平面 z=±2z=\pm2 に囲まれる領域の全表面を SS とする。a=x2z i+yz2 j\boldsymbol a=x^2z\,\boldsymbol i+yz^2\,\boldsymbol j について、外向き単位法線 n\boldsymbol n に対する ∬Sa⋅n dS\iint_S\boldsymbol a\cdot\boldsymbol n\,dS を求めよ。
  3. a=yi+xj+2zk\boldsymbol a=y\boldsymbol i+x\boldsymbol j+2z\boldsymbol k、C:r=3ti+(1−t)j−2kC:\boldsymbol r=3t\boldsymbol i+(1-t)\boldsymbol j-2\boldsymbol k（0≤t≤20\le t\le2）とする。∫Ca⋅dr\int_C\boldsymbol a\cdot d\boldsymbol r を求めよ。
  4. a=(2x−y)i−yz2j−y2zk\boldsymbol a=(2x-y)\boldsymbol i-yz^2\boldsymbol j-y^2z\boldsymbol k、b=rot⁡a\boldsymbol b=\operatorname{rot}\boldsymbol a とする。SS は球面 x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1 のうち z≥0z\ge0 の部分で、単位法線は原点のある側から反対側に向く。∬Sb⋅n dS\iint_S\boldsymbol b\cdot\boldsymbol n\,dS を求めよ。

题目描述​

在三维直角坐标系中：（1）对给定向量求平行四边形面积、单位法向量及过指定点的平行平面方程。（2）求给定场穿过半径为 11、−2≤z≤2-2\le z\le2 的圆柱体整个外表面的外向通量。（3）求给定场沿指定参数线段、按 tt 增大方向的线积分。（4）求给定向量场旋度穿过单位上半球面的外向通量。

Kai​

(1)​

a×b=(−1,−1,−1).\boldsymbol a\times\boldsymbol b=(-1,-1,-1).

従って

S=3,n=±i+j+k3.\boxed{S=\sqrt3},\qquad \boxed{\boldsymbol n=\pm\frac{\boldsymbol i+\boldsymbol j+\boldsymbol k}{\sqrt3}}.

求める平面は (x−1)+(y−2)+(z+1)=0(x-1)+(y-2)+(z+1)=0、すなわち

x+y+z=2.\boxed{x+y+z=2}.

(2)​

円柱内部を VV とすると、発散定理により

∬Sa⋅n dS=∭V(2xz+z2) dV.\iint_S\boldsymbol a\cdot\boldsymbol n\,dS =\iiint_V(2xz+z^2)\,dV.

2xz2xz の積分は対称性により零、円形断面の面積は π\pi なので

∬Sa⋅n dS=π∫−22z2 dz=16π3.\boxed{\iint_S\boldsymbol a\cdot\boldsymbol n\,dS =\pi\int_{-2}^2z^2\,dz=\frac{16\pi}{3}}.

(3)​

a=∇(xy+z2)\boldsymbol a=\nabla(xy+z^2) である。始点は (0,1,−2)(0,1,-2)、終点は (6,−1,−2)(6,-1,-2) だから

∫Ca⋅dr=(−6+4)−4=−6.\boxed{\int_C\boldsymbol a\cdot d\boldsymbol r=(-6+4)-4=-6}.

(4)​

ストークスの定理で上半球の縁 CC に移す。外向き法線に対応する向きは +z+z 側から見て反時計回りである。r(t)=(cos⁡t,sin⁡t,0)\boldsymbol r(t)=(\cos t,\sin t,0) とおくと

∬Sb⋅n dS=∫02π(2cos⁡t−sin⁡t)(−sin⁡t) dt=π.\iint_S\boldsymbol b\cdot\boldsymbol n\,dS =\int_0^{2\pi}(2\cos t-\sin t)(-\sin t)\,dt =\boxed{\pi}.

また、直接計算して rot⁡a=k\operatorname{rot}\boldsymbol a=\boldsymbol k であるから、xyxy 平面への射影面積 π\pi とも一致する。

Reference​

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