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名古屋大学 工学研究科 機械航空系 2017年8月実施 基礎部門 問題4

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

問題4

三次元直交座標系（デカルト座標系）において，xx 軸，yy 軸，zz 軸の正の方向の単位ベクトルをそれぞれ i,j,k\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k とする。以下の問いに答えよ。

(1) ベクトル a,b\boldsymbol a,\boldsymbol b がそれぞれ a=i+2j−3k, b=2i+3j−5k\boldsymbol a=\boldsymbol i+2\boldsymbol j-3\boldsymbol k,\ \boldsymbol b=2\boldsymbol i+3\boldsymbol j-5\boldsymbol k で与えられるとする。

1) a,b\boldsymbol a,\boldsymbol b を二辺とする平行四辺形の面積 SS を求めよ。

2) a,b\boldsymbol a,\boldsymbol b を二辺とする平行四辺形の単位法線ベクトル n\boldsymbol n を求めよ。

3) 点 r0=(1,2,−1)\boldsymbol r_0=(1,2,-1) を通り，a,b\boldsymbol a,\boldsymbol b と平行な平面の方程式を求めよ。

(2) 円柱面 r=cos⁡v i+sin⁡v j+2uk (−∞<u<∞, 0≤v≤2π)\boldsymbol r=\cos v\,\boldsymbol i+\sin v\,\boldsymbol j+2u\boldsymbol k\ (-\infty<u<\infty,\ 0\le v\le2\pi) と，2つの平面 z=−2z=-2 および z=2z=2 で囲まれる領域の全表面を SS とし，ベクトル場 a\boldsymbol a を a=x2zi+yz2j\boldsymbol a=x^2z\boldsymbol i+yz^2\boldsymbol j とする。表面 SS での面積分 ∫Sa⋅n dS\displaystyle\int_S\boldsymbol a\cdot\boldsymbol n\,dS を求めよ。ただし，n\boldsymbol n は SS の単位法線ベクトルであり，領域外側に向かう方向を正とする。

(3) ベクトル場 a\boldsymbol a を a=yi+xj+2zk\boldsymbol a=y\boldsymbol i+x\boldsymbol j+2z\boldsymbol k とする。経路 C に沿ったベクトル場 a\boldsymbol a の線積分 ∫Ca⋅dr\displaystyle\int_C\boldsymbol a\cdot d\boldsymbol r を求めよ。ただし，経路 C を r=3ti+(1−t)j−2k (0≤t≤2)\boldsymbol r=3t\boldsymbol i+(1-t)\boldsymbol j-2\boldsymbol k\ (0\le t\le2) とする。

(4) ベクトル場 a,b\boldsymbol a,\boldsymbol b をそれぞれ，a=(2x−y)i−yz2j−y2zk, b=rot⁡a\boldsymbol a=(2x-y)\boldsymbol i-yz^2\boldsymbol j-y^2z\boldsymbol k,\ \boldsymbol b=\operatorname{rot}\boldsymbol a とする。また，曲面 x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1 の z≥0z\ge0 に対応する部分を SS とする。曲面 SS での面積分 ∫Sb⋅n dS\displaystyle\int_S\boldsymbol b\cdot\boldsymbol n\,dS を求めよ。ただし，n\boldsymbol n は SS の単位法線ベクトルであり，原点のある側から他の側に向かう方向を正とする。

题目描述​

问题4

在三维正交坐标系（笛卡尔坐标系）中，沿 x,y,zx,y,z 轴正方向的单位向量分别为 i,j,k\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k。回答下列问题。

(1) 设向量 a=i+2j−3k\boldsymbol a=\boldsymbol i+2\boldsymbol j-3\boldsymbol k，b=2i+3j−5k\boldsymbol b=2\boldsymbol i+3\boldsymbol j-5\boldsymbol k。

1) 求以 a,b\boldsymbol a,\boldsymbol b 为邻边的平行四边形面积 SS。

2) 求以 a,b\boldsymbol a,\boldsymbol b 为邻边的平行四边形的单位法向量 n\boldsymbol n。

3) 求通过点 r0=(1,2,−1)\boldsymbol r_0=(1,2,-1)、与 a,b\boldsymbol a,\boldsymbol b 平行的平面方程。

(2) 设 SS 为圆柱面 r=cos⁡v i+sin⁡v j+2uk (−∞<u<∞, 0≤v≤2π)\boldsymbol r=\cos v\,\boldsymbol i+\sin v\,\boldsymbol j+2u\boldsymbol k\ (-\infty<u<\infty,\ 0\le v\le2\pi) 与两个平面 z=−2,z=2z=-2,z=2 所围区域的全部表面。给定向量场 a=x2zi+yz2j\boldsymbol a=x^2z\boldsymbol i+yz^2\boldsymbol j，求曲面积分 ∫Sa⋅n dS\displaystyle\int_S\boldsymbol a\cdot\boldsymbol n\,dS，其中 n\boldsymbol n 为 SS 的单位法向量，以指向区域外侧为正。

(3) 给定向量场 a=yi+xj+2zk\boldsymbol a=y\boldsymbol i+x\boldsymbol j+2z\boldsymbol k，求沿路径 C 的线积分 ∫Ca⋅dr\displaystyle\int_C\boldsymbol a\cdot d\boldsymbol r，其中路径 C 为 r=3ti+(1−t)j−2k (0≤t≤2)\boldsymbol r=3t\boldsymbol i+(1-t)\boldsymbol j-2\boldsymbol k\ (0\le t\le2)。

(4) 给定向量场 a=(2x−y)i−yz2j−y2zk\boldsymbol a=(2x-y)\boldsymbol i-yz^2\boldsymbol j-y^2z\boldsymbol k 和 b=rot⁡a\boldsymbol b=\operatorname{rot}\boldsymbol a。设 SS 为曲面 x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1 中满足 z≥0z\ge0 的部分。求曲面积分 ∫Sb⋅n dS\displaystyle\int_S\boldsymbol b\cdot\boldsymbol n\,dS，其中 n\boldsymbol n 为 SS 的单位法向量，以从原点所在一侧指向另一侧为正。

Kai​

(1)​

a×b=(−1,−1,−1).\boldsymbol a\times\boldsymbol b=(-1,-1,-1).

従って

S=3,n=±i+j+k3.\boxed{S=\sqrt3},\qquad \boxed{\boldsymbol n=\pm\frac{\boldsymbol i+\boldsymbol j+\boldsymbol k}{\sqrt3}}.

求める平面は (x−1)+(y−2)+(z+1)=0(x-1)+(y-2)+(z+1)=0、すなわち

x+y+z=2.\boxed{x+y+z=2}.

(2)​

円柱内部を VV とすると、発散定理により

∬Sa⋅n dS=∭V(2xz+z2) dV.\iint_S\boldsymbol a\cdot\boldsymbol n\,dS =\iiint_V(2xz+z^2)\,dV.

2xz2xz の積分は対称性により零、円形断面の面積は π\pi なので

∬Sa⋅n dS=π∫−22z2 dz=16π3.\boxed{\iint_S\boldsymbol a\cdot\boldsymbol n\,dS =\pi\int_{-2}^2z^2\,dz=\frac{16\pi}{3}}.

(3)​

a=∇(xy+z2)\boldsymbol a=\nabla(xy+z^2) である。始点は (0,1,−2)(0,1,-2)、終点は (6,−1,−2)(6,-1,-2) だから

∫Ca⋅dr=(−6+4)−4=−6.\boxed{\int_C\boldsymbol a\cdot d\boldsymbol r=(-6+4)-4=-6}.

(4)​

ストークスの定理で上半球の縁 CC に移す。外向き法線に対応する向きは +z+z 側から見て反時計回りである。r(t)=(cos⁡t,sin⁡t,0)\boldsymbol r(t)=(\cos t,\sin t,0) とおくと

∬Sb⋅n dS=∫02π(2cos⁡t−sin⁡t)(−sin⁡t) dt=π.\iint_S\boldsymbol b\cdot\boldsymbol n\,dS =\int_0^{2\pi}(2\cos t-\sin t)(-\sin t)\,dt =\boxed{\pi}.

また、直接計算して rot⁡a=k\operatorname{rot}\boldsymbol a=\boldsymbol k であるから、xyxy 平面への射影面積 π\pi とも一致する。

Reference​

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