名古屋大学 工学研究科 機械航空系 2017年8月実施 基礎部門 問題3

标签：

• 名古屋大学
• 可分离变量的常微分方程
• 一阶齐次常微分方程
• 二阶线性常微分方程
• 弗罗贝尼乌斯法

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

問題3

以下の問いに答えよ。

(1) 次の常微分方程式の一般解を求めよ。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{(1+x^2)y^3}{(y^2-1)x^3}$$

(2) 次の常微分方程式の一般解を求めよ。

$$x^2\frac{dy}{dx}=x^2+y^2$$

ヒント：

$$\int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac1a\arctan\frac xa+C$$

(3) 次の常微分方程式の一般解を求めよ。

$$\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}+y=\cos2x$$

(4) 常微分方程式 $x(1+x)y''-2y'-2y=0$ を，定数 $r$ および $a_m$ を用いて表される以下の級数解を用いて解くことを考える。ただし，$|x|<1$ であるものとする。

$$y=x^r\sum_{m=0}^\infty a_mx^m\qquad(a_0\ne0)$$

1) $r$ を求めるための決定方程式を導出し，その解 $r_1$ および $r_2$ を求めよ。ただし，$r_1>r_2$ であるものとする。

2) $r_1$ に対する同常微分方程式の基底 $y_1$ を，$a_0$ を用いて示せ。ただし答えは級数式のままでもよいものとする。

ヒント：同常微分方程式が $x$ に対して恒等的に0となる条件を考えよ。

题目描述

问题3

回答下列问题。

(1) 求下列常微分方程的通解。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{(1+x^2)y^3}{(y^2-1)x^3}$$

(2) 求下列常微分方程的通解。

$$x^2\frac{dy}{dx}=x^2+y^2$$

提示：

$$\int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac1a\arctan\frac xa+C$$

(3) 求下列常微分方程的通解。

$$\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}+y=\cos2x$$

(4) 考虑利用下列由常数 $r,a_m$ 表示的级数解求解常微分方程 $x(1+x)y''-2y'-2y=0$，设 $|x|<1$。

$$y=x^r\sum_{m=0}^\infty a_mx^m\qquad(a_0\ne0)$$

1) 推导用于确定 $r$ 的指标方程，求其解 $r_1,r_2$，其中 $r_1>r_2$。

2) 用 $a_0$ 表示对应 $r_1$ 的该常微分方程的基解 $y_1$。答案可以保留级数形式。

提示：考虑该常微分方程关于 $x$ 恒等于0的条件。

Kai

(1)

$x\ne0$、$y\ne0,\pm1$ の区間で変数分離すると

$$\left(\frac1y-\frac1{y^3}\right)dy =\left(\frac1{x^3}+\frac1x\right)dx.$$

積分して

$$\boxed{\log\left|\frac yx\right|+\frac1{2y^2}+\frac1{2x^2}=C}.$$

変数分離の際に除いた $\boxed{y\equiv0}$ も解である。元の式は $x=0$ および $y=\pm1$ で定義されない。

(2)

$x\ne0$ として $y=xu$ とおくと $xu'=u^2-u+1$ となるから

$$\frac2{\sqrt3}\arctan\frac{2u-1}{\sqrt3}=\log|x|+C.$$

従って、右辺が有限となる各区間で

$$\boxed{y=x\left\{\frac12+\frac{\sqrt3}{2} \tan\left(\frac{\sqrt3}{2}\log|x|+C\right)\right\}}.$$

(3)

同次方程式の特性根は $(-1\pm i\sqrt3)/2$。特殊解を $a\cos2x+b\sin2x$ とおくと $-3a+2b=1$、$-2a-3b=0$ より $a=-3/13$、$b=2/13$ となる。

$$\boxed{\begin{aligned}y&=e^{-x/2}\left(C_1\cos\frac{\sqrt3x}{2}+C_2\sin\frac{\sqrt3x}{2}\right)\\ &\quad-\frac3{13}\cos2x+\frac2{13}\sin2x \end{aligned}}.$$

(4)

1)

級数を代入すると最低次 $x^{r-1}$ の係数は $a_0r(r-3)$ である。従って

$$\boxed{r(r-3)=0,\qquad r_1=3,\quad r_2=0}.$$

2)

$m\ge1$ の $x^{m+r-1}$ の係数から

$$\begin{aligned} &(m+r)(m+r-3)a_m\\ &\quad+\bigl((m+r-1)(m+r-2)-2\bigr)a_{m-1}=0. \end{aligned}$$

$r=3$ のとき $m(m+3)(a_m+a_{m-1})=0$ なので $a_m=(-1)^ma_0$。よって

$$\boxed{y_1=a_0\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^mx^{m+3} =\frac{a_0x^3}{1+x}\qquad(|x|<1)}.$$

Reference

• 名古屋大学公式問題：2017年8月22日実施・基礎部門、PDF 4ページ