名古屋大学 工学研究科 機械航空系 2017年8月実施 基礎部門 問題2

标签：

• 名古屋大学
• 特征值与特征向量
• 凯莱–哈密顿定理
• 矩阵对角化

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

問題2

(1) 大きさ $2\times2$ の実定数行列 $A$ を考え，以下の問いに答えよ（最終的な答えのみならず途中の導き方についても示すこと）。

1) 以下の関係を満たすとき，$A$ を求めよ。

$$A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix},\qquad A\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}$$

2) $A$ のすべての固有値を求めよ。

3) 問(1)-2)で求めた固有値に対応するすべての固有ベクトルを求めよ。

4) $A$ について，ケーリー・ハミルトンの定理を用いて，$A^5$ と $A^{-1}$ を求めよ（具体的に各要素を計算せよ）。また，問(1)-1)の2つの式について，ここで求めた $A^{-1}$ をそれぞれの式の両辺左側から掛けるとき，2つの式がともに満たされていることを示せ（$A^{-1}A$ を実際に計算せよ）。

5) $A$ について，行列の対角化を用いることによって，$A^m$ を求めよ（$m$ は整数である）。

(2) 大きさ $n\times n$ の実定数行列 $B$ と，同じ大きさで正則な実定数行列 $U$ を考える。このとき，以下の問いに答えよ（最終的な答えのみならず途中の導き方についても示すこと）。ただし，$B$ の固有値はすべて相異なる値とする。

1) $B$ の固有値と行列 $\widetilde B=U^{-1}BU$ の固有値が同じであることを示せ。

2) $B$ の固有値を $\lambda_i\ (i=1,\ldots,n)$ とし，それに対応する固有ベクトルを $\boldsymbol v_i$ とする。このとき，$\widetilde B$ の固有値 $\lambda_i\ (i=1,\ldots,n)$ に対応する固有ベクトル $\widetilde{\boldsymbol v}_i$ と $\boldsymbol v_i$ の関係を示せ。

题目描述

问题2

(1) 考虑 $2\times2$ 实常数矩阵 $A$，回答下列问题，不仅给出最终答案，也须给出中间推导过程。

1) 若满足下列关系，求 $A$。

$$A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix},\qquad A\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}$$

2) 求 $A$ 的全部特征值。

3) 求与第(1)-2)问中各特征值对应的全部特征向量。

4) 利用凯莱–哈密顿定理求 $A^5$ 与 $A^{-1}$，具体计算各个元素。对于第(1)-1)问的两个等式，分别在两边左乘这里求得的 $A^{-1}$，证明两个等式均成立，并实际计算 $A^{-1}A$。

5) 利用矩阵对角化求 $A^m$，其中 $m$ 为整数。

(2) 考虑 $n\times n$ 实常数矩阵 $B$ 和同阶可逆实常数矩阵 $U$，回答下列问题。不仅给出最终答案，也须给出中间推导过程。设 $B$ 的全部特征值互不相同。

1) 证明 $B$ 与矩阵 $\widetilde B=U^{-1}BU$ 的特征值相同。

2) 设 $B$ 的特征值为 $\lambda_i\ (i=1,\ldots,n)$，对应特征向量为 $\boldsymbol v_i$。给出 $\widetilde B$ 对应特征值 $\lambda_i\ (i=1,\ldots,n)$ 的特征向量 $\widetilde{\boldsymbol v}_i$ 与 $\boldsymbol v_i$ 的关系。

Kai

(1)

1)

二つの条件を列方向に並べれば

$$A=\begin{pmatrix}-1&3\\-1&7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}^{-1} =\boxed{\begin{pmatrix}-2&1\\-4&3\end{pmatrix}}.$$

2), 3)

$$\det(\lambda E-A)=\lambda^2-\lambda-2=(\lambda-2)(\lambda+1).$$

従って固有値と対応する固有ベクトルは

$$\boxed{\lambda=2:\ c\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix},\qquad \lambda=-1:\ d\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\quad(c,d\ne0)}.$$

4)

$A^2=A+2E$ より $A^3=3A+2E$、$A^4=5A+6E$、$A^5=11A+10E$ である。また $A(A-E)=2E$ だから

$$\boxed{A^5=\begin{pmatrix}-12&11\\-44&43\end{pmatrix},\qquad A^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}-3&1\\-4&2\end{pmatrix}}.$$

実際に

$$A^{-1}A=\frac12\begin{pmatrix}6-4&-3+3\\8-8&-4+6\end{pmatrix}=E,$$

$$A^{-1}\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\qquad A^{-1}\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}.$$

5)

$P=\begin{pmatrix}1&1\\1&4\end{pmatrix}$ とすれば $P^{-1}AP=\operatorname{diag}(-1,2)$。両固有値は非零なので、負の整数を含めて

$$\boxed{A^m=\frac13\begin{pmatrix} 4(-1)^m-2^m&2^m-(-1)^m\\ 4(-1)^m-4\cdot2^m&4\cdot2^m-(-1)^m \end{pmatrix}\quad(m\in\mathbb Z)}.$$

(2)

1)

$$\det(\lambda E-\widetilde B) =\det\bigl(U^{-1}(\lambda E-B)U\bigr) =\det(\lambda E-B).$$

固有多項式が一致するから固有値も一致する。

2)

$B\boldsymbol v_i=\lambda_i\boldsymbol v_i$ の左から $U^{-1}$ を掛けると

$$\widetilde B(U^{-1}\boldsymbol v_i)=\lambda_i(U^{-1}\boldsymbol v_i).$$

$U^{-1}\boldsymbol v_i\ne0$ であり、相異なる固有値の各固有空間は一次元なので

$$\boxed{\widetilde{\boldsymbol v}_i=c_iU^{-1}\boldsymbol v_i,\qquad c_i\ne0}.$$

実固有値には実固有ベクトルを選べる。非実固有値がある場合も複素数体上で同じ議論が成り立つ。

Reference

• 名古屋大学公式問題：2017年8月22日実施・基礎部門、PDF 3ページ