名古屋大学 工学研究科 機械航空系 2018年度 基礎部門 問題2

标签：

• 名古屋大学
• 特征值与特征向量
• 凯莱–哈密顿定理
• 矩阵对角化

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

以下では、最終的な答えのみならず途中の導き方についても示すこと。

(1)

大きさ $2\times2$ の実定数行列 $A$ を考える。

1. 次の関係を満たすとき、$A$ を求めよ。

   $$A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix},\qquad A\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}.$$

2. $A$ のすべての固有値を求めよ。

3. 各固有値に対応するすべての固有ベクトルを求めよ。

4. ケーリー・ハミルトンの定理を用いて $A^5$ と $A^{-1}$ の各要素を求めよ。また、1) の二つの式の両辺に左から $A^{-1}$ を掛けたとき、両式が満たされることを示せ。$A^{-1}A$ を実際に計算すること。

5. 対角化を用いて $A^m$ を求めよ。ただし $m$ は整数である。

(2)

$B$ は大きさ $n\times n$ の実定数行列、$U$ は同じ大きさの正則な実定数行列とする。$B$ の固有値はすべて相異なる。

1. $B$ と $\widetilde B=U^{-1}BU$ の固有値が同じであることを示せ。
2. $B$ の固有値 $\lambda_i$ に対応する固有ベクトルを $\boldsymbol v_i$、$\widetilde B$ の同じ固有値に対応する固有ベクトルを $\widetilde{\boldsymbol v}_i$ とする。両者の関係を示せ。

题目描述

（1）由给定的两个向量像确定实矩阵 $A$，求全部特征值和特征向量；利用凯莱–哈密顿定理求 $A^5$ 与 $A^{-1}$，实际计算逆矩阵乘积并核验两个已知等式；利用对角化求任意整数 $m$ 对应的 $A^m$。（2）对于实矩阵 $B$ 和可逆实矩阵 $U$，证明相似变换保持特征值，并在特征值互异时给出对应特征向量的关系。所有结论须说明推导。

Kai

(1)

1)

二つの条件を列方向に並べれば

$$A=\begin{pmatrix}-1&3\\-1&7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}^{-1} =\boxed{\begin{pmatrix}-2&1\\-4&3\end{pmatrix}}.$$

2), 3)

$$\det(\lambda E-A)=\lambda^2-\lambda-2=(\lambda-2)(\lambda+1).$$

従って固有値と対応する固有ベクトルは

$$\boxed{\lambda=2:\ c\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix},\qquad \lambda=-1:\ d\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\quad(c,d\ne0)}.$$

4)

$A^2=A+2E$ より $A^3=3A+2E$、$A^4=5A+6E$、$A^5=11A+10E$ である。また $A(A-E)=2E$ だから

$$\boxed{A^5=\begin{pmatrix}-12&11\\-44&43\end{pmatrix},\qquad A^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}-3&1\\-4&2\end{pmatrix}}.$$

実際に

$$A^{-1}A=\frac12\begin{pmatrix}6-4&-3+3\\8-8&-4+6\end{pmatrix}=E,$$

$$A^{-1}\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\qquad A^{-1}\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}.$$

5)

$P=\begin{pmatrix}1&1\\1&4\end{pmatrix}$ とすれば $P^{-1}AP=\operatorname{diag}(-1,2)$。両固有値は非零なので、負の整数を含めて

$$\boxed{A^m=\frac13\begin{pmatrix} 4(-1)^m-2^m&2^m-(-1)^m\\ 4(-1)^m-4\cdot2^m&4\cdot2^m-(-1)^m \end{pmatrix}\quad(m\in\mathbb Z)}.$$

(2)

1)

$$\det(\lambda E-\widetilde B) =\det\bigl(U^{-1}(\lambda E-B)U\bigr) =\det(\lambda E-B).$$

固有多項式が一致するから固有値も一致する。

2)

$B\boldsymbol v_i=\lambda_i\boldsymbol v_i$ の左から $U^{-1}$ を掛けると

$$\widetilde B(U^{-1}\boldsymbol v_i)=\lambda_i(U^{-1}\boldsymbol v_i).$$

$U^{-1}\boldsymbol v_i\ne0$ であり、相異なる固有値の各固有空間は一次元なので

$$\boxed{\widetilde{\boldsymbol v}_i=c_iU^{-1}\boldsymbol v_i,\qquad c_i\ne0}.$$

実固有値には実固有ベクトルを選べる。非実固有値がある場合も複素数体上で同じ議論が成り立つ。

Reference

• 名古屋大学公式問題：2017年8月22日実施・基礎部門、PDF 3ページ