名古屋大学 工学研究科 機械航空系 2018年度 基礎部門 問題1

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• 部分分式分解积分法
• 换元积分法
• 泰勒级数
• 弧长

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

(1)

以下の不定積分を求めよ。

1. $\displaystyle\int\frac{x^3+2x+1}{x^5-x^4+2x^3-2x^2+x-1}\,dx$
2. $\displaystyle\int\frac{1}{\sin x+\cos x+1}\,dx$。ヒント：$t=\tan(x/2)$ としてもよい。

(2)

以下の極限値を求めよ。

$$\lim_{x\to0}\frac{x-\sin^{-1}x}{x^3},\qquad -1\le x\le1.$$

ヒント：$x=\sin\theta$、$-\pi/2\le\theta\le\pi/2$ としてもよい。

(3)

二次元直交デカルト座標系上の曲線 $C$ が

$$x=\frac{\cos\theta}{\theta+1},\qquad y=\frac{\sin\theta}{\theta+1},\qquad 0\le\theta\le\theta_0$$

と表される。曲線 $C$ の長さが次式で表されることを示せ。

$$L=\int_0^{\theta_0}\frac{\sqrt{1+(\theta+1)^2}}{(\theta+1)^2}\,d\theta.$$

题目描述

（1）求上述两个不定积分，第二个可令 $t=\tan(x/2)$。（2）求 $(x-\arcsin x)/x^3$ 在 $x\to0$ 时的极限，可用 $x=\sin\theta$。（3）对于上述参数曲线，证明其弧长为给出的积分表达式。

Kai

(1)

1)

分母を因数分解して部分分数に分けると

$$x^5-x^4+2x^3-2x^2+x-1=(x-1)(x^2+1)^2,$$

$$\frac{x^3+2x+1}{(x-1)(x^2+1)^2} =\frac1{x-1}-\frac{x}{x^2+1}-\frac{x}{(x^2+1)^2}.$$

したがって、$x=1$ を含まない各区間において

$$\boxed{\log|x-1|-\frac12\log(x^2+1)+\frac1{2(x^2+1)}+C}.$$

2)

$t=\tan(x/2)$ とおくと

$$\sin x+\cos x+1=\frac{2(t+1)}{1+t^2},\qquad dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}.$$

よって、被積分関数が定義される各区間で

$$\int\frac{dx}{\sin x+\cos x+1} =\int\frac{dt}{t+1} =\boxed{\log\left|1+\tan\frac{x}{2}\right|+C}.$$

(2)

$\arcsin x=x+x^3/6+O(x^5)$ より

$$\frac{x-\arcsin x}{x^3}=-\frac16+O(x^2), \qquad \boxed{-\frac16}.$$

(3)

$u=\theta+1$ とおくと

$$x'=-\frac{\sin\theta}{u}-\frac{\cos\theta}{u^2},\qquad y'=\frac{\cos\theta}{u}-\frac{\sin\theta}{u^2}.$$

交差項が打ち消し合うので

$$(x')^2+(y')^2=\frac1{u^2}+\frac1{u^4}.$$

従って弧長公式から

$$\boxed{L=\int_0^{\theta_0}\sqrt{(x')^2+(y')^2}\,d\theta =\int_0^{\theta_0}\frac{\sqrt{1+(\theta+1)^2}}{(\theta+1)^2}\,d\theta}.$$

Reference

• 名古屋大学公式問題：2017年8月22日実施・基礎部門、PDF 2ページ