名古屋大学 経済学研究科 2024年9月実施 論文試験 A-1

标签：

• 名古屋大学
• 生产函数
• 利润最大化
• 供给曲线
• 凸函数与凹函数

Author

祭音Myyura

Description

日本語または英語で解答すること。

労働 $L$ を投入とする生産関数 $F(L)=\min\{\alpha L,k\}$ をもつ企業を考える。なお $\alpha>0$，$k>0$ を仮定する。

(1) 生産関数 $F(L)$ のグラフを描け。$\alpha$ および $k$ を図中に示し、それらの経済学的な解釈を説明せよ。

(2) $p$ と $w$ を生産物の価格および賃金率とする。利潤関数を定義し、利潤を最大にする労働需要と実質賃金率 $(w/p)$ の関係を記述せよ。

(3) 企業の供給曲線のグラフを描け。

(4) 企業が生産技術の異なる２つの工場を使用できると仮定する。工場１の生産関数を $F(L_1)=\min\{\alpha L_1,k\}$、工場２の生産関数を $G(L_2)=\beta L_2$ とする。ただし $0<\beta<\alpha$ を仮定する。企業全体の労働投入量 $L=L_1+L_2$ の関数として企業の生産関数 $H(L)$ を導出せよ。

(5) 凹関数の定義を示し、問題 (4) で導出した生産関数が凹関数であることを示せ。

(6) 問題 (4) の企業が投資を通じて最大生産能力を $k$ 以上にすることができると仮定する。具体的には、生産能力を１単位増加させるために必要な投資コストを $r$ とする。企業が両方の工場を使わずに投資を通じて工場１の生産能力を増加することが最適になる条件を導出せよ。

题目描述

请用日语或英语作答。

考虑一家以劳动 $L$ 为投入、生产函数为 $F(L)=\min\{\alpha L,k\}$ 的企业。假定 $\alpha>0$、$k>0$。

(1) 绘制生产函数 $F(L)$ 的图像。在图中标出 $\alpha$ 和 $k$，并解释它们的经济学含义。

(2) 以 $p$ 和 $w$ 分别表示产品价格和工资率。定义利润函数，并说明使利润最大化的劳动需求与实际工资率 $(w/p)$ 之间的关系。

(3) 绘制企业的供给曲线。

(4) 假定企业可以使用两个生产技术不同的工厂。工厂 1 的生产函数为 $F(L_1)=\min\{\alpha L_1,k\}$，工厂 2 的生产函数为 $G(L_2)=\beta L_2$，其中 $0<\beta<\alpha$。将企业的生产函数 $H(L)$ 表示为总劳动投入 $L=L_1+L_2$ 的函数。

(5) 给出凹函数的定义，并证明第 (4) 问中导出的生产函数是凹函数。

(6) 假定第 (4) 问中的企业可以通过投资，将最大生产能力提高至 $k$ 以上。具体而言，每增加一单位生产能力所需的投资成本为 $r$。求出企业选择通过投资扩大工厂 1 的生产能力，而非同时使用两个工厂成为最优选择的条件。

Kai

以下では労働投入を非負とし、価格・賃金率を $p>0$，$w>0$、投資コストを $r>0$ とする。

(1)

生産関数は

$$F(L)= \begin{cases} \alpha L, & 0\le L\le k/\alpha,\\ k, & L>k/\alpha \end{cases}$$

である。したがって、原点から傾き $\alpha$ で増加し、点 $(k/\alpha,k)$ 以降は水平になる。

$\alpha$ は生産能力に達する前の労働の限界生産性であり、労働を１単位増加させたときの生産量の増加分を表す。$k$ は最大生産量、すなわち生産能力である。$L>k/\alpha$ では労働を増やしても生産量は増加せず、限界生産性は $0$ となる。

(2)

利潤関数は、生産物の売上から労働費用を引いた

$$\pi(L)=pF(L)-wL= \begin{cases} (p\alpha-w)L, & 0\le L\le k/\alpha,\\ pk-wL, & L>k/\alpha \end{cases}$$

である。$L>k/\alpha$ では利潤が減少するため、この範囲で労働を投入することは最適ではない。$0\le L\le k/\alpha$ では、$p\alpha-w$ の符号によって利潤の増減が決まる。よって、最適な労働投入量の集合は

$$L^*\in \begin{cases} \{0\}, & w/p>\alpha,\\ [0,k/\alpha], & w/p=\alpha,\\ \{k/\alpha\}, & 0<w/p<\alpha \end{cases}$$

となる。実質賃金率が限界生産性を上回れば労働を雇用せず、下回れば生産能力を使い切るまで雇用する。両者が等しい場合には、$0$ から $k/\alpha$ までの任意の労働投入量で利潤は等しくなる。

(3)

賃金率 $w$ を一定とし、供給量を $q=F(L^*)$ とおくと、供給対応は

$$q\in S(p)= \begin{cases} \{0\}, & 0<p<w/\alpha,\\ [0,k], & p=w/\alpha,\\ \{k\}, & p>w/\alpha \end{cases}$$

である。横軸を生産量 $q$、縦軸を価格 $p$ とすると、$p<w/\alpha$ では縦軸上、$p=w/\alpha$ では $0\le q\le k$ の水平線、$p>w/\alpha$ では $q=k$ の垂直線となる。

(4)

総労働投入量 $L$ の下で、二つの工場への配分を最適化すると

$$H(L)=\max_{\substack{L_1,L_2\ge0\\L_1+L_2=L}} \left\{\min\{\alpha L_1,k\}+\beta L_2\right\}$$

となる。$\alpha>\beta$ なので、工場１が生産能力に達するまでは工場１に優先して労働を投入する。工場１が生産能力に達した後は、それ以上労働を投入しても生産量が増えないため、残りを工場２に投入する。

したがって、最適な配分は

$$L_1^*=\min\left\{L,\frac{k}{\alpha}\right\},\qquad L_2^*=\max\left\{L-\frac{k}{\alpha},0\right\}$$

であり、企業全体の生産関数は

$$\boxed{ H(L)= \begin{cases} \alpha L, & 0\le L\le k/\alpha,\\ k+\beta\left(L-\dfrac{k}{\alpha}\right), & L>k/\alpha \end{cases}}$$

となる。

(5)

区間上の関数 $f$ が凹関数であるとは、任意の $x,y$ と $0\le\lambda\le1$ に対して

$$f\bigl(\lambda x+(1-\lambda)y\bigr) \ge\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$$

が成り立つことをいう。

ここで、二つのアフィン関数を

$$h_1(L)=\alpha L,\qquad h_2(L)=\beta L+k\left(1-\frac{\beta}{\alpha}\right)$$

とおくと、(4) の生産関数は $H(L)=\min\{h_1(L),h_2(L)\}$ と表せる。各 $i=1,2$ について

$$\begin{aligned} h_i\bigl(\lambda x+(1-\lambda)y\bigr) &=\lambda h_i(x)+(1-\lambda)h_i(y)\\ &\ge\lambda H(x)+(1-\lambda)H(y) \end{aligned}$$

である。左辺の $i=1,2$ に関する最小値を取ると、凹関数の定義を満たすことが分かる。したがって、$H$ は $L\ge0$ 上で凹関数である。図からも、折れ点で傾きが $\alpha$ から $\beta$ に低下していることが確認できる。

(6)

(4) と同様に総労働投入量 $L$ を所与とし、$L>k/\alpha$ の場合を考える。$L\le k/\alpha$ ならば、もとの生産能力で全労働を工場１に投入できるため、追加投資は不要である。

工場１の生産能力の増加分を $x$ とする。$0\le x\le\alpha L-k$ の範囲では、工場１に $(k+x)/\alpha$、工場２に残りの労働を投入するので、投資コストを差し引いた利潤は

$$\pi(x)=p\left[k+x+\beta\left(L-\frac{k+x}{\alpha}\right)\right]-wL-rx$$

となる。これを整理すると

$$\pi(x)=\pi(0)+\left[p\left(1-\frac{\beta}{\alpha}\right)-r\right]x$$

である。したがって、

$$\boxed{r<p\left(1-\frac{\beta}{\alpha}\right)}$$

のときは、$x^*=\alpha L-k$ まで投資して工場１の生産能力を $\alpha L$ に引き上げ、$L_1=L$，$L_2=0$ とすることが最適となる。それ以上投資しても、所与の労働では生産量が増えない。

等号の場合は $0\le x\le\alpha L-k$ のすべてで利潤が等しく、工場１のみを使うことも最適である。したがって、工場１のみを使う最適解が存在する条件は弱い不等号 $r\le p(1-\beta/\alpha)$、投資しない場合より厳密に有利となる条件は上の厳しい不等号である。逆に $r>p(1-\beta/\alpha)$ ならば投資せず、二つの工場を使用する。

この条件は、総労働投入量を固定して比較したものである。労働投入量も自由に選ぶ場合には、例えば $p\beta>w$ なら工場２だけで利潤を際限なく増やせるため、有限の最適投資量を求めるには追加の条件が必要となる。

Reference

• 名古屋大学大学院経済学研究科：2025年度博士前期課程入学試験・2024年9月2日実施（PDF 1ページ：作答言語、3ページ：A-1）
• 名古屋大学大学院経済学研究科：2024年9月2日実施分・出題の意図（PDF 1ページ：A-1）
• 名古屋大学大学院経済学研究科：博士前期課程入試過去問題