名古屋大学 環境学研究科 地球環境科学専攻 大気水圏科学系 2022年8月実施 数学

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• Integration-by-Parts
• Improper-Integral
• Linear-Transformation
• Orthogonal-Function-Systems

Author

Miyake

Description

問題1

次の問１～３に答えなさい。

• 問1 次の不定積分を計算する手順を述べなさい。

$$\int xe^{-ax}\ dx$$

• 問２ 問１の不定積分を計算しなさい。
• 問３ 問２の結果を利用し、 $a > 0$ のとき次の定積分を求めなさい。

$$\int_0^{\infty} xe^{-ax}\ dx$$

問題2

次の問１～３に答えなさい。

• 問１ ある関数 $f(x)$ が線形であるとはどういうことかを説明しなさい。
• 問２ ベクトルの直交の定義のアナロジーとして、二つの関数が直交することの定義を示しなさい。
• 問３ ある関数の集合が直交関数系であるとはどういうことかを説明しなさい。

题目描述

问题 1：

1. 说明计算不定积分
   $$\int xe^{-ax}\,dx$$
   的步骤。
2. 实际计算该不定积分。
3. 利用第 2 问的结果，在 $a>0$ 时计算广义积分
   $$\int_0^\infty xe^{-ax}\,dx.$$

问题 2：

1. 说明函数 $f(x)$ 为线性函数（线性映射）的含义。
2. 类比向量正交的定义，给出两个函数正交的定义。
3. 说明一组函数构成正交函数系的含义。

考点

• 分部积分与广义积分：选择 $x$ 与 $e^{-ax}$ 作分部积分，并利用 $a>0$ 处理无穷上限。
• 线性映射：用可加性和齐次性准确表述函数的线性。
• 正交函数系：以指定区间上的内积积分定义函数正交，并推广到两两正交的函数集合。

Kai

問題1

問1

部分積分

問2

$$\begin{aligned} \int x e^{-ax} dx &= - \frac{1}{a} x e^{-ax} + \frac{1}{a} \int e^{-ax} dx \\ &= - \frac{1}{a} x e^{-ax} - \frac{1}{a^2} e^{-ax} + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

問3

$$\begin{aligned} \int_0^\infty x e^{-ax} dx &= \left[ - \frac{1}{a} x e^{-ax} - \frac{1}{a^2} e^{-ax} \right]_0^\infty \\ &= \frac{1}{a^2} \end{aligned}$$

問題2

問1

$$\begin{aligned} f(ax+by) = a f(x) + b f(y) \end{aligned}$$

問2

2つの関数 $f(x), g(x)$ が直交するとは、

$$\begin{aligned} \int_{- \infty}^\infty f(x) g(x) dx = 0 \end{aligned}$$

が成り立つことである。

問3

関数の集合 $f_1(x), f_2(x), \cdots$ が直交関数系であるとは、 任意の $f_i(x), f_j(x) \ (i \ne j)$ が直交することである。