名古屋大学 環境学研究科 地球環境科学専攻 地球惑星科学系 2022年8月実施 数学

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Author

Miyake

Description

Kai

問題 1

$$\begin{aligned} \det \begin{pmatrix} 1+a & a & -1 \\ a-1 & 0 & a+1 \\ 2a & a & 2a+1 \end{pmatrix} &= -a^3 + a \\ &= - a(a+1)(a-1) \end{aligned}$$

なので、与えられた連立方程式が自明でない解をもつのは $a=-1,0,1$ のときである。

問題 2

問 1

$$\begin{aligned} \int_0^1 x \log_e x dx &= \left[ \frac{x^2}{2} \log_e x \right]_0^1 - \frac{1}{2} \int_0^1 x^2 \cdot \frac{1}{x} dx \\ &= - \frac{1}{2} \int_0^1 x dx \\ &= - \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 \\ &= - \frac{1}{4} \end{aligned}$$

問 2

$$\begin{aligned} \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} dx &= \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \cdot \cos \theta d \theta \ \ \ \ \ \ \ \ ( x = \sin \theta ) \\ &= \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^2 \theta d \theta \\ &= \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1 - \cos 2 \theta}{2} d \theta \\ &= \frac{\pi}{4} \end{aligned}$$

問題 3

問 1

$$\begin{aligned} \frac{du}{u^2} &= \frac{dt}{t} \\ - \frac{1}{u} &= \log |t| + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \\ \therefore \ \ u &= - \frac{1}{ \log |t| + C } \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

問 2

$v=u-t$ とすると、

$$\begin{aligned} \frac{d^2v}{dt^2} &= \frac{d^2u}{dt^2} \\ &= -u+t \\ &= -v \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} v &= A \sin t + B \cos t \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \\ \therefore \ \ u &= A \sin t + B \cos t + t \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

がわかる。

問題 4

問 1

(1)

$$\begin{aligned} F (2 \omega) &= \int_{- \infty}^\infty f(s) \exp (-2i \omega s) ds \\ &= \int_{- \infty}^\infty f \left( \frac{t}{2} \right) \exp (-i \omega t) \frac{dt}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ (t=2s) \end{aligned}$$

なので、 $F(2\omega)$ の逆フーリエ変換は

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} f \left( \frac{t}{2} \right) \end{aligned}$$

である。

(2)

$$\begin{aligned} F (\omega-1) &= \int_{- \infty}^\infty f(t) \exp (-i (\omega-1) t) dt \\ &= \int_{- \infty}^\infty f(t) \exp (it) \exp (-i \omega t) dt \end{aligned}$$

なので、 $F(\omega-1)$ の逆フーリエ変換は

$$\begin{aligned} f(t) \exp (it) \end{aligned}$$

である。

問 2

$$\begin{aligned} F(\omega) &= \int_{-T}^T \sin (\omega_0 t) \exp(-i \omega t) dt \\ &= - \frac{1}{i \omega} \left[ \sin (\omega_0 t) \exp(-i \omega t) \right]_{-T}^T + \frac{\omega_0}{i \omega} \int_{-T}^T \cos (\omega_0 t) \exp(-i \omega t) dt \\ &= - \frac{1}{i \omega} \sin (\omega_0 T) \left( \exp(-i \omega T) + \exp(i \omega T) \right) + \frac{\omega_0}{i \omega} \int_{-T}^T \cos (\omega_0 t) \exp(-i \omega t) dt \\ &= \frac{2i}{\omega} \sin (\omega_0 T) \cos (\omega T) + \frac{\omega_0}{\omega^2} \left[ \cos (\omega_0 t) \exp(-i \omega t) \right]_{-T}^T + \frac{\omega_0^2}{\omega^2} \int_{-T}^T \sin (\omega_0 t) \exp(-i \omega t) dt \\ &= \frac{2i}{\omega} \sin (\omega_0 T) \cos (\omega T) + \frac{\omega_0}{\omega^2} \cos (\omega_0 T) \left( \exp(-i \omega T) - \exp(i \omega T) \right) + \frac{\omega_0^2}{\omega^2} F(\omega) \\ &= \frac{2i}{\omega} \sin (\omega_0 T) \cos (\omega T) - \frac{2i \omega_0}{\omega^2} \cos (\omega_0 T) \sin (\omega T) + \frac{\omega_0^2}{\omega^2} F(\omega) \\ \therefore \ \ \left( \omega^2 - \omega_0^2 \right) F(\omega) &= 2i \left( \omega \sin (\omega_0 T) \cos (\omega T) - \omega_0 \cos (\omega_0 T) \sin (\omega T) \right) \end{aligned}$$

なので、 $\omega \ne \omega_0$ のとき

$$\begin{aligned} F(\omega) &= \frac{2i}{\omega^2 - \omega_0^2} \left( \omega \sin (\omega_0 T) \cos (\omega T) - \omega_0 \cos (\omega_0 T) \sin (\omega T) \right) \end{aligned}$$

である。

問題 5

問 1

$$\begin{aligned} \int_0^\infty \phi(\tau) d \tau &= \frac{1}{\mu} \int_0^\infty \exp \left( - \frac{\tau}{\mu} \right) d \tau \\ &= - \left[ \exp \left( - \frac{\tau}{\mu} \right) \right]_0^\infty \\ &= 1 \end{aligned}$$

問 2

$$\begin{aligned} \int_0^\infty \tau \phi(\tau) d \tau &= \frac{1}{\mu} \int_0^\infty \tau \exp \left( - \frac{\tau}{\mu} \right) d \tau \\ &= - \left[ \tau \exp \left( - \frac{\tau}{\mu} \right) \right]_0^\infty + \int_0^\infty \exp \left( - \frac{\tau}{\mu} \right) d \tau \\ &= - \mu \left[ \exp \left( - \frac{\tau}{\mu} \right) \right]_0^\infty \\ &= \mu \end{aligned}$$

問 3

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \int_0^1 \exp \left( - \frac{\tau}{2} \right) d \tau &= - \left[ \exp \left( - \frac{\tau}{2} \right) \right]_0^1 \\ &= - \frac{1}{\sqrt{e}} + 1 \end{aligned}$$