名古屋大学 環境学研究科 地球環境科学専攻 地球惑星科学系 2022年8月実施 数学

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Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

題意の要約。出典：名古屋大学・令和5年度地球惑星科学系入試問題、H（数学）。全問について計算過程も示す。

問題1

次の同次連立方程式が零解以外の解をもつような $a$ を求める。

$$\begin{cases} (1+a)x+ay-z=0,\\ (a-1)x+(a+1)z=0,\\ 2ax+ay+(2a+1)z=0. \end{cases}$$

問題2

次の二つの定積分を計算する。

$$\int_0^1x\log_e x\,dx,\qquad \int_0^1\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.$$

問題3

$u,t$ を実数として、それぞれの常微分方程式の一般解を求める。

$$\frac{du}{dt}=\frac{u^2}{t},\qquad \frac{d^2u}{dt^2}+u=t.$$

問題4

実数の周波数 $\omega$ に対して、フーリエ変換を

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\exp(-i\omega t)\,dt$$

で定める。$i$ は虚数単位である。

1. $F$ の逆変換が $f$ であるとき、$F(2\omega)$ と $F(\omega-1)$ の逆変換をそれぞれ求める。

2. $\omega_0,T>0$ として、次の関数のフーリエ変換を計算する。

   $$f(t)=\begin{cases} \sin(\omega_0t),&-T\le t\le T,\\ 0,&t<-T\ \text{または}\ t>T. \end{cases}$$

問題5

平均発生間隔が $\mu>0$ のランダムな現象について、発生間隔 $\tau\ge0$ の確率密度を

$$\phi(\tau)=\frac1\mu\exp(-\tau/\mu)$$

とする。

1. 全発生間隔にわたる密度の積分が $1$ であることを示す。
2. $\tau$ の期待値が $\mu$ であることを示す。
3. 地震の平均発生間隔が2週間で、この密度に従うとする。ある地震から1週間以内に次の地震が生じる確率を求める。

题目描述

问题 1：含参数 $a$ 的齐次线性方程组的系数矩阵为

$$\begin{pmatrix} 1+a&a&-1\\ a-1&0&a+1\\ 2a&a&2a+1 \end{pmatrix}.$$

求该方程组存在非零解时 $a$ 的取值。

问题 2：计算

$$\int_0^1x\log x\,dx, \qquad \int_0^1\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.$$

问题 3：分别求微分方程

$$\frac{du}{dt}=\frac{u^2}{t}, \qquad \frac{d^2u}{dt^2}+u=t$$

的通解。

问题 4：采用约定

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt.$$

1. 已知 $f$ 的 Fourier 变换为 $F$，分别求 $F(2\omega)$ 与 $F(\omega-1)$ 的逆 Fourier 变换。

2. 对

   $$f(t)= \begin{cases} \sin(\omega_0t),&|t|\le T,\\ 0,&|t|>T, \end{cases}$$

   求 $F(\omega)$，其中 $\omega_0,T>0$，$\omega$ 为任意实频率。

问题 5：设随机事件的平均发生间隔为 $\mu>0$，等待时间 $\tau$ 的密度为

$$\phi(\tau)=\frac1\mu e^{-\tau/\mu},\qquad\tau\ge0.$$

证明其归一化，求期望；若地震平均间隔为2周，求一次地震后1周内再次发生地震的概率 $P(0\le\tau\le1)$。

Kai

問題 1

$$\begin{aligned} \det \begin{pmatrix} 1+a & a & -1 \\ a-1 & 0 & a+1 \\ 2a & a & 2a+1 \end{pmatrix} &= -a^3 + a \\ &= - a(a+1)(a-1) \end{aligned}$$

なので、与えられた連立方程式が自明でない解をもつのは $a=-1,0,1$ のときである。

問題 2

問 1

$$\begin{aligned} \int_0^1 x \log_e x dx &= \left[ \frac{x^2}{2} \log_e x \right]_0^1 - \frac{1}{2} \int_0^1 x^2 \cdot \frac{1}{x} dx \\ &= - \frac{1}{2} \int_0^1 x dx \\ &= - \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 \\ &= - \frac{1}{4} \end{aligned}$$

問 2

$$\begin{aligned} \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} dx &= \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \cdot \cos \theta d \theta \ \ \ \ \ \ \ \ ( x = \sin \theta ) \\ &= \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^2 \theta d \theta \\ &= \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1 - \cos 2 \theta}{2} d \theta \\ &= \frac{\pi}{4} \end{aligned}$$

問題 3

問 1

$$\begin{aligned} \frac{du}{u^2} &= \frac{dt}{t} \\ - \frac{1}{u} &= \log |t| + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \\ \therefore \ \ u &= - \frac{1}{ \log |t| + C } \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

非零解は $t\ne0$ かつ $\log|t|+C\ne0$ を満たす区間で定義する。変数分離で除外された定数解 $u\equiv0$ も解である。

問 2

$v=u-t$ とすると、

$$\begin{aligned} \frac{d^2v}{dt^2} &= \frac{d^2u}{dt^2} \\ &= -u+t \\ &= -v \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} v &= A \sin t + B \cos t \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \\ \therefore \ \ u &= A \sin t + B \cos t + t \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

がわかる。

問題 4

問 1

(1)

$$\begin{aligned} F (2 \omega) &= \int_{- \infty}^\infty f(s) \exp (-2i \omega s) ds \\ &= \int_{- \infty}^\infty f \left( \frac{t}{2} \right) \exp (-i \omega t) \frac{dt}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ (t=2s) \end{aligned}$$

なので、 $F(2\omega)$ の逆フーリエ変換は

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} f \left( \frac{t}{2} \right) \end{aligned}$$

である。

(2)

$$\begin{aligned} F (\omega-1) &= \int_{- \infty}^\infty f(t) \exp (-i (\omega-1) t) dt \\ &= \int_{- \infty}^\infty f(t) \exp (it) \exp (-i \omega t) dt \end{aligned}$$

なので、 $F(\omega-1)$ の逆フーリエ変換は

$$\begin{aligned} f(t) \exp (it) \end{aligned}$$

である。

問 2

オイラーの公式を用いると

$$\begin{aligned} F(\omega) &=\int_{-T}^T\sin(\omega_0t)e^{-i\omega t}\,dt\\ &=\frac{1}{2i}\int_{-T}^T \left(e^{-i(\omega-\omega_0)t}-e^{-i(\omega+\omega_0)t}\right)dt. \end{aligned}$$

これを積分すると

$$F(\omega)=\frac1i\left[ \frac{\sin((\omega-\omega_0)T)}{\omega-\omega_0} -\frac{\sin((\omega+\omega_0)T)}{\omega+\omega_0} \right],$$

ただし分母が $0$ の項は極限値 $T$ と解釈する。したがって、特に $\omega\ne\pm\omega_0$ のとき

$$\begin{aligned} F(\omega) &= \frac{2i}{\omega^2 - \omega_0^2} \left( \omega \sin (\omega_0 T) \cos (\omega T) - \omega_0 \cos (\omega_0 T) \sin (\omega T) \right) \end{aligned}$$

である。

問題 5

問 1

$$\begin{aligned} \int_0^\infty \phi(\tau) d \tau &= \frac{1}{\mu} \int_0^\infty \exp \left( - \frac{\tau}{\mu} \right) d \tau \\ &= - \left[ \exp \left( - \frac{\tau}{\mu} \right) \right]_0^\infty \\ &= 1 \end{aligned}$$

問 2

$$\begin{aligned} \int_0^\infty \tau \phi(\tau) d \tau &= \frac{1}{\mu} \int_0^\infty \tau \exp \left( - \frac{\tau}{\mu} \right) d \tau \\ &= - \left[ \tau \exp \left( - \frac{\tau}{\mu} \right) \right]_0^\infty + \int_0^\infty \exp \left( - \frac{\tau}{\mu} \right) d \tau \\ &= - \mu \left[ \exp \left( - \frac{\tau}{\mu} \right) \right]_0^\infty \\ &= \mu \end{aligned}$$

問 3

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \int_0^1 \exp \left( - \frac{\tau}{2} \right) d \tau &= - \left[ \exp \left( - \frac{\tau}{2} \right) \right]_0^1 \\ &= - \frac{1}{\sqrt{e}} + 1 \end{aligned}$$